大阪大学 1998年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$f_{0} (x) = x^{2} e^{x}$ とし、 $f_{n} = f_{n - 1}^{'}$ $(n ≧ 1)$ とする．

(1) $f_{n} (x) = (x^{2} + p_{n} x + q_{n}) e^{x}$ の形に表し、整数 $p_{n}, q_{n}$ を求めよ．

(2) $y = f_{n} (x)$ の増減、凹凸を調べ、概形をかけ．

(3) $y = f_{n} (x), y = f_{n + 1} (x), y = f_{n + 2} (x)$ で囲まれる面積 $S_{n}$ を求めよ．

(4) $\sum_{n = 1}^{\infty} S_{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

微分の積の公式から $f_{n}$ の一般形を得る。増減は $f_{n}^{'} = f_{n + 1}$ 、凹凸は $f_{n}^{''} = f_{n + 2}$ の二次因子で判定する。3曲線の交点を求め、区間を2つに分けて差を積分する。

積の微分を繰り返すと、 $x^{2}$ は3回以上微分すると0になるから

f_{n} (x) = e^{x} (x^{2} + 2 n x + n (n - 1)) = e^{x} ((x + n)^{2} - n) .

実際、この式を微分すると $n$ を $n + 1$ に替えた式になり、 $n = 0$ でも成立する。従って

p_{n} = 2 n, q_{n} = n (n - 1) .

f_{n}^{'} (x) = f_{n + 1} (x) = e^{x} ((x + n + 1)^{2} - (n + 1)) .

従って

α = - n - 1 - n + 1, β = - n - 1 + n + 1

とおくと、 $(- \infty, α)$ と $(β, \infty)$ で増加、 $(α, β)$ で減少する。

また

f_{n}^{''} (x) = f_{n + 2} (x) = e^{x} ((x + n + 2)^{2} - (n + 2)) .

従って

γ = - n - 2 - n + 2, δ = - n - 2 + n + 2

とおくと、 $(- \infty, γ)$ と $(δ, \infty)$ で下に凸、 $(γ, δ)$ で上に凸である。さらに

x \to - \infty lim f_{n} (x) = 0, x \to \infty lim f_{n} (x) = \infty,

零点は $x = - n \pm n$ である。これらと増減・凹凸を用いて概形が定まる。

$t = x + n$ とおくと

f_{n} f_{n + 1} f_{n + 2} = e^{t - n} (t^{2} - n), = e^{t - n} (t^{2} + 2 t - n), = e^{t - n} (t^{2} + 4 t + 2 - n) .

従って各2曲線の交点の $x$ 座標は

f_{n + 1} = f_{n + 2} : t = - 1, f_{n} = f_{n + 2} : t = - \frac{1}{2}, f_{n} = f_{n + 1} : t = 0.

囲まれた領域では、 $- 1 ≦ t ≦ - 1/2$ で上側が $f_{n + 2}$ 、下側が $f_{n + 1}$ 、 $- 1/2 ≦ t ≦ 0$ で上側が $f_{n}$ 、下側が $f_{n + 1}$ である。よって

S_{n} = \int_{- 1}^{- 1/2} 2 (t + 1) e^{t - n} d t + \int_{- 1/2}^{0} (- 2 t) e^{t - n} d t = 2 e^{- n} (1 - 2 e^{- 1/2} + e^{- 1}) = 2 e^{- n} (1 - e^{- 1/2})^{2} .

従って

n = 1 \sum \infty S_{n} = 2 (1 - e^{- 1/2})^{2} \frac{e ^{- 1}}{1 - e ^{- 1}} = \frac{2}{e} \cdot \frac{e - 1}{e + 1} .