大阪大学 1998年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

(1) $cos 3 θ = f (cos θ)$ 、 $cos 4 θ = g (cos θ)$ となる3次式 $f$ と4次式 $g$ を求めよ．

(2) $α = 2 π /7$ とする． $cos 3 α = cos 4 α$ を示し、整数係数の3次式 $P$ で $P (cos α) = 0$ となるものを1つ求めよ．

(3) $0.6 < cos (2 π /7) < 0.7$ を示せ．

出典：大阪大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

倍角公式を反復して $f, g$ を得る。 $f (x) = g (x)$ の4次式から自明な因子 $x - 1$ を除き3次式 $P$ を作る。(3) は $P$ の単調性と $0.6, 0.7$ での符号を使う。

倍角・加法公式から

cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ,

cos 4 θ = 2 cos^{2} 2 θ - 1 = 8 cos^{4} θ - 8 cos^{2} θ + 1.

従って

f (x) = 4 x^{3} - 3 x, g (x) = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1.

$3 α = 6 π /7$ であり、

4 α = \frac{8 π}{7} = 2 π - \frac{6 π}{7}

だから $cos 3 α = cos 4 α$ である。 $x = cos α$ とおくと $f (x) = g (x)$ より

8 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 1 = 0.

左辺は

(x - 1) (8 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 1)

と因数分解できる。 $cos α \neq = 1$ だから

P (x) = 8 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 1

とすれば $P (cos α) = 0$ である。

$0 < 2 π /7 < π /3$ だから

\frac{1}{2} < cos \frac{2 π}{7} < 1.

一方

P^{'} (x) = 24 x^{2} + 8 x - 4.

$x ≧ 1/2$ では $P^{'} (x) > 0$ なので、 $P$ は $[1/2, 1]$ で狭義増加する。また

P (\frac{3}{5}) = - \frac{29}{125} < 0, P (\frac{7}{10}) = \frac{113}{125} > 0.

$[1/2, 1]$ にある $P$ の零点はただ1つで、それが $cos (2 π /7)$ だから

0.6 < cos \frac{2 π}{7} < 0.7.