大阪大学 1998年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$△ A B C$ の辺長を $A B = c, B C = a, C A = b$ とする．辺 $A B, B C, C A$ を $n$ 等分し、問題文の順に点 $P_{k}, Q_{k}, R_{k}$ $(k = 1, \dots, n)$ をとる．

(1) $∣ P_{k} Q_{k} ∣^{2}$ を $n, k, a, c, B A \cdot B C$ で表せ．

(2) $∣ P_{k} Q_{k} ∣^{2} + ∣ Q_{k} R_{k} ∣^{2} + ∣ R_{k} P_{k} ∣^{2}$ を $n, k, a, b, c$ で表せ．

(3) その和を $k = 1$ から $n$ まで足して $n$ で割ったものの $n \to \infty$ での極限を求めよ．

出典：大阪大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

各頂点を原点にして内分点の位置ベクトルを表す。(2) は3頂点で得る式を巡回的に足し、余弦定理に相当する内積表示で交差項を辺長だけに直す。(3) は平方和の公式を用いる。

点 $B$ を原点とし

u = B A, v = B C

とおく。定義から

B P_{k} = \frac{n - k}{n} u, B Q_{k} = \frac{k}{n} v .

従って

P_{k} Q_{k} = \frac{k}{n} v - \frac{n - k}{n} u

であり、

∣ P_{k} Q_{k} ∣^{2} = \frac{k ^{2} a ^{2} + ( n - k ) ^{2} c ^{2} - 2 k ( n - k ) u \cdot v}{n ^{2}} .

同じ式を3頂点で巡回的に用いる。3つの交差項に現れる内積の和は

B A \cdot B C + C B \cdot C A + A C \cdot A B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2} + \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2} + \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2} .

従って、求める和は

\frac{( n - k ) ^{2} + k ^{2} - k ( n - k )}{n ^{2}} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

すなわち

\frac{n ^{2} - 3 nk + 3 k ^{2}}{n ^{2}} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) .

$T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ とおくと、求める式は

\frac{T}{n} k = 1 \sum n (1 - \frac{3 k}{n} + \frac{3 k ^{2}}{n ^{2}}) .

和の公式を用いて

T [1 - \frac{3 ( n + 1 )}{2 n} + \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2 n ^{2}}]

となる。従って極限は

\frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2} .