大阪大学 1998年度
文系数学 第3問

解答

(1)

点 $P$ を $P=(X,X^2+1)$ とおく。$O$ は原点であり、$Q$ は線分 $OP$ を $t^2:(1-t^2)$ に内分するので、$Q=t^{2}P$ である。したがって $Q=\left(t^{2}X,t^2(X^2+1)\right)$ と書ける。 $Q=(x,y)$ とおくと $x=t^{2}X$ なので $X=\frac{x}{t^2}$ である。これを $y=t^2(X^2+1)$ に代入すると $y=t^2\left(\frac{x^2}{t^4}+1\right)=\frac{x^2}{t^2}+t^2$ である。よって、点 $Q$ が描く曲線 $C$ の方程式は $y=\frac{x^2}{t^2}+t^2$ である。

(2)

元の放物線 $y=x^2+1$ と曲線 $C$ の交点を求める。 $x^2+1=\frac{x^2}{t^2}+t^2$ であるから、両辺に $t^2$ をかけて $t^2{x}^2+t^2=x^2+t^4$ となる。整理すると $(1-t^2)x^2=t^2(1-t^2)$ である。$0<t<1$ より $1-t^2\ne 0$ なので $x^2=t^2$ すなわち $x=\pm t$ で交わる。 $-t\leqq x\leqq t$ では

であり、これは $0$ 以上である。したがって面積 $S$ は

である。被積分関数は偶関数なので $S=2{\int }_0^t\left\{1-t^2+x^2-\frac{x^2}{t^2}\right\}dx$ $=2{\left[(1-t^2)x+\left(1-\frac{1}{t^2}\right)\frac{x^3}{3}\right]}_0^t$

である。

(3)

(2)より $S=\frac{4}{3}(t-t^3)$ である。$0<t<1$ で微分すると $\frac{dS}{dt}=\frac{4}{3}(1-3t^2)$ である。したがって $S$ は $0<t<1/\sqrt{3}$ で増加し、$1/\sqrt{3}<t<1$ で減少する。よって最大は $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ のときである。このとき

である。

別解。$C$ は、元の放物線上の点を原点から $t^2$ 倍に縮小して得られる軌跡である。交点が $x=\pm t$ になることを確認すれば、上下差は $(1-t^2)\left(1-\frac{x^2}{t^2}\right)$ という左右対称の二次式である。そこで $x=tu$ とおくと $S=t(1-t^2){\int }_{-1}^1(1-u^2)du=\frac{4t(1-t^2)}{3}$ となり、積分計算を短くできる。