大阪大学 1998年度
文系数学 第1問

解答

$PQ=d$ とおく。三角形 $OPQ$ において、$OP=2$、$OQ=3$、$\angle OPQ=60^{\circ }$ である。余弦定理より $O{Q}^2=O{P}^2+P{Q}^2-2\cdot OP\cdot PQ\cos 60^{\circ }$ だから $9=4+d^2-2d$ である。したがって $d^2-2d-5=0$ となり、$d>0$ より $PQ=1+\sqrt{6}$ である。

次に内積を求める。$\vec{p}=\overrightarrow{OP}$、$\vec{q}=\overrightarrow{OQ}$ とおくと $P{Q}^2=|\vec{q}-\vec{p}{|}^2=|\vec{p}{|}^2+|\vec{q}{|}^2-2\vec{p}\cdot \vec{q}$ である。よって $(1+\sqrt{6}{)}^2=4+9-2\vec{p}\cdot \vec{q}$ であり、$7+2\sqrt{6}=13-2\vec{p}\cdot \vec{q}$ だから $\vec{p}\cdot \vec{q}=3-\sqrt{6}$ である。

条件

より $\overrightarrow{OR}=-(\vec{p}+\vec{q})$ である。したがって $O{R}^2=|\vec{p}+\vec{q}{|}^2=|\vec{p}{|}^2+|\vec{q}{|}^2+2\vec{p}\cdot \vec{q}$ $=4+9+2(3-\sqrt{6})=19-2\sqrt{6}$ となる。よって $OR=\sqrt{19-2\sqrt{6}}$ である。

また

$=-(4+3-\sqrt{6})=\sqrt{6}-7$ である。したがって

である。

別解。座標を使ってもよい。点 $P$ を原点、半直線 $PO$ を $x$ 軸の正の向きにとると、$O=(2,0)$ とできる。$\angle OPQ=60^{\circ }$ で $Q$ は $P$ から距離 $1+\sqrt{6}$ の位置にあるので $Q=\left(\frac{1+\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{6})}{2}\right)$ とおける。ここから $O$ を原点に直した位置ベクトルを足し、$R$ がその反対ベクトルであることを使えば、同じ $O{R}^2=19-2\sqrt{6}$ と $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OR}=\sqrt{6}-7$ が得られる。ベクトル内積の解法の方が座標計算は少ない。