大阪大学 1998年度文系数学第2問解答・解説

問題

単位円周上の3点 $P (cos θ, sin θ)$ ， $Q (cos 2 θ, sin 2 θ)$ ， $R (cos 4 θ, sin 4 θ)$ を考える． $θ$ が $0^{\circ}$ から $360^{\circ}$ まで動くとき $P Q^{2} + QR^{2}$ がとる値の範囲を求めよ．

出典：大阪大学 1998年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

単位円上の2点間距離は、中心角の差だけで決まる。 $P, Q$ の中心角差は $θ$ 、 $Q, R$ の中心角差は $2 θ$ なので、それぞれの弦長の2乗を $2 - 2 cos$ の形にする。あとは $u = cos θ$ とおいて、 $- 1 ≦ u ≦ 1$ 上の二次関数の最大・最小を端点と頂点で調べる。

解答

単位円上の偏角 $α$ 、 $β$ の2点間の距離の2乗は $(cos α - cos β)^{2} + (sin α - sin β)^{2}$ である。展開すると

cos^{2} α + sin^{2} α + cos^{2} β + sin^{2} β - 2 (cos α cos β + sin α sin β)

$= 2 - 2 cos (α - β)$ となる。

したがって、 $P$ と $Q$ の偏角差は $θ$ 、 $Q$ と $R$ の偏角差は $2 θ$ なので $P Q^{2} = 2 - 2 cos θ, Q R^{2} = 2 - 2 cos 2 θ$ である。よって $P Q^{2} + Q R^{2} = 4 - 2 cos θ - 2 cos 2 θ$ である。

ここで $u = cos θ$ とおくと、 $θ$ が $0^{\circ}$ から $36 0^{\circ}$ まで動く間に $u$ は $[- 1, 1]$ のすべての値をとる。また $cos 2 θ = 2 u^{2} - 1$ であるから $P Q^{2} + Q R^{2} = 4 - 2 u - 2 (2 u^{2} - 1) = 6 - 2 u - 4 u^{2}$ となる。 $6 - 2 u - 4 u^{2} = - 4 (u + \frac{1}{4})^{2} + \frac{25}{4}$ である。したがって最大値は $u = - 1/4$ のとき $\frac{25}{4}$ である。一方、この二次関数は上に凸なので、最小値は区間 $[- 1, 1]$ の端点で調べればよい。 $u = 1$ のとき $6 - 2 - 4 = 0$ であり、 $u = - 1$ のとき $6 + 2 - 4 = 4$ である。よって最小値は $0$ である。

以上より、求める値の範囲は $0 ≦ P Q^{2} + Q R^{2} ≦ \frac{25}{4}$ である。

別解。弦長公式 $P Q = 2∣ sin (θ /2) ∣$ 、 $QR = 2∣ sin θ ∣$ を用いると $P Q^{2} + Q R^{2} = 4 sin^{2} \frac{θ}{2} + 4 sin^{2} θ$ である。 $u = cos θ$ とすれば $4 sin^{2} (θ /2) = 2 - 2 u$ 、 $4 sin^{2} θ = 4 (1 - u^{2})$ なので、同じく $6 - 2 u - 4 u^{2}$ に帰着する。

大阪大学 1998年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

大阪大学 1998年度
文系数学第2問