大阪大学 1997年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x_{1} = (1, 0)$ 、 $x_{2} = (- 1/2, 3 /2)$ 、 $x_{3} = (- 1/2, - 3 /2)$ とする。各試行でこの3ベクトルから等確率で1つを選び、 $n$ 回中の出現回数を $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ とする。

(1) $a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = 0$ の必要十分条件が $a = b = c$ であることを示せ。

(2) $n = 3 m$ のとき $n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = 0$ となる確率 $P_{m}$ について、 $P_{1}$ と一般の $P_{m}$ を求めよ。

(3) $m > 1$ で $P_{m} < \frac{m}{m + 1} P_{m - 1}$ を示し、 $lim_{m \to \infty} P_{m}$ を求めよ。

出典：大阪大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

成分比較で零ベクトル条件を確定する。条件を満たす出現回数は一意なので、その並べ方を数え、隣接項比を直接比較して極限を評価する。

解答

(1)

成分を比較すると

a - \frac{b + c}{2} = 0, \frac{3}{2} (b - c) = 0.

第2式から $b = c$ 、これを第1式に入れて $a = b = c$ を得る。逆に $a = b = c$ なら $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ より等式が成り立つ。従って必要十分条件である。(2)(1)と $n_{1} + n_{2} + n_{3} = 3 m$ より、零ベクトルとなるのは

n_{1} = n_{2} = n_{3} = m

のときに限る。従って

P_{m} = \frac{( 3 m )!}{( m ! ) ^{3}} (\frac{1}{3})^{3 m} .

特に

P_{1} = \frac{3 !}{3 ^{3}} = \frac{2}{9} .

(3)

隣接項比は

\frac{P _{m}}{P _{m - 1}} = \frac{( 3 m ) ( 3 m - 1 ) ( 3 m - 2 )}{27 m ^{3}} = \frac{( 3 m - 1 ) ( 3 m - 2 )}{9 m ^{2}} .

一方、

(3 m - 1) (3 m - 2) (m + 1) = 9 m^{3} - 7 m + 2 < 9 m^{3}

であるから、 $m > 1$ では

\frac{P _{m}}{P _{m - 1}} < \frac{m}{m + 1} .

これを $2$ から $m$ まで用いると

0 < P_{m} < P_{1} \frac{2}{3} \frac{3}{4} \dots \frac{m}{m + 1} = \frac{4}{9 ( m + 1 )} .

右辺は0に収束するので、はさみうちにより

m \to \infty lim P_{m} = 0.

大阪大学 1997年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(3)

大阪大学 1997年度
後期・理系数学後期第3問