大阪大学 1997年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対し $f_{n} (x) = x^{n} e^{1 - x}$ 、 $a_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x$ とする。

(1) $0 ≦ x ≦ 1$ で $0 ≦ f_{n} (x) ≦ 1$ を示し、 $0 < a_{n} < 1$ を示せ。

(2) $a_{1}$ と、 $n > 1$ における $a_{n}, a_{n - 1}$ の漸化式を求めよ。

(3) $\frac{a _{n}}{n !} = e - (1 + \frac{1}{1 !} + \dots + \frac{1}{n !})$ を示せ。

(4) どの自然数 $n$ についても $n! e$ が整数でないことを示せ。

出典：大阪大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

微分で被積分関数を評価し、部分積分で漸化式を作る。漸化式を階乗で割って和をとり、最後は $0 < a_{n} < 1$ を使う。

$0 < x ≦ 1$ で

f_{n}^{'} (x) = x^{n - 1} e^{1 - x} (n - x) ≧ 0

であるから、 $f_{n}$ は $[0, 1]$ で単調増加する。 $f_{n} (0) = 0$ 、 $f_{n} (1) = 1$ より

0 ≦ f_{n} (x) ≦ 1.

さらに $(0, 1)$ では $0 < f_{n} (x) < 1$ なので、区間の長さが1であることから

0 < a_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x < 1.

直接積分して

a_{1} = \int_{0}^{1} x e^{1 - x} d x = e - 2.

また $n > 1$ について部分積分すると

a_{n} = [- x^{n} e^{1 - x}]_{0}^{1} + n \int_{0}^{1} x^{n - 1} e^{1 - x} d x = n a_{n - 1} - 1.

前式を $n!$ で割ると

\frac{a _{n}}{n !} = \frac{a _{n - 1}}{( n - 1 )!} - \frac{1}{n !} .

これを $n$ から2まで繰り返し、 $a_{1} = e - 2$ を用いれば

\frac{a _{n}}{n !} = e - 2 - j = 2 \sum n \frac{1}{j !} = e - (1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}) .

(3)を変形すると

n! e = n! (1 + \frac{1}{1 !} + \dots + \frac{1}{n !}) + a_{n} .

右辺第1項は整数であり、(1)より $0 < a_{n} < 1$ である。従って $n! e$ は整数と整数の間にあり、整数ではない。