大阪大学 1997年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

行列 $A = (0 - 1 10)$ 、 $E = (1001)$ に対し、自然数 $n$ について $X_{n} = A^{2 n} + A^{n} + E$ とする。

(1) $A^{2}, A^{3}, A^{4}$ を $A, E$ で表せ。

(2) $X_{n + 4} = X_{n}$ を示せ。

(3) $0 < r < 1$ 、自然数 $k$ について $(s_{k} u_{k} t_{k} v_{k}) = \sum_{n = 1}^{4 k} r^{n} X_{n}$ とする。 $s_{k}, t_{k}$ および $lim_{k \to \infty} s_{k}$ を求めよ。

出典：大阪大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

$A$ の4乗周期から $X_{1}, \dots, X_{4}$ を求め、4項ずつまとめて有限等比級数に帰着する。

直接計算すると

A^{2} = - E, A^{3} = - A, A^{4} = E .

$A^{4} = E$ より $A^{n + 4} = A^{n}$ 、 $A^{2 (n + 4)} = A^{2 n}$ である。従って

X_{n + 4} = A^{2 n + 8} + A^{n + 4} + E = A^{2 n} + A^{n} + E = X_{n} .

(1)を用いると

X_{1} = A, X_{2} = E, X_{3} = - A, X_{4} = 3 E .

(2)より、 $j = 0, 1, \dots, k - 1$ に対する4項をまとめれば

n = 1 \sum 4 k r^{n} X_{n} = j = 0 \sum k - 1 r^{4 j} (r A + r^{2} E - r^{3} A + 3 r^{4} E) .

ここで

G_{k} = j = 0 \sum k - 1 r^{4 j} = \frac{1 - r ^{4 k}}{1 - r ^{4}}

とおくと

n = 1 \sum 4 k r^{n} X_{n} = G_{k} {(r - r^{3}) A + (r^{2} + 3 r^{4}) E} .

$A, E$ の成分を比較して

s_{k} = (r^{2} + 3 r^{4}) \frac{1 - r ^{4 k}}{1 - r ^{4}}, t_{k} = (r - r^{3}) \frac{1 - r ^{4 k}}{1 - r ^{4}} .

$0 < r < 1$ だから $r^{4 k} \to 0$ であり、

k \to \infty lim s_{k} = \frac{r ^{2} + 3 r ^{4}}{1 - r ^{4}} .