大阪大学 1997年度
文系数学 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 微分、数と式
- 解法
- 微分による最大最小、式変形、範囲評価
- 難易度
- 4 / 10 計算量 4 / 10 目安 10分
問題
縦，横，高さがそれぞれx，x，yで，これらの和x+x+yが一定値aである直方体を考える．次の問に答えよ．
(1) 直方体の体積Vが最大となるようにx，yの値を定めよ．
(2) a=1とする．直方体の表面積をSとするとき，V−21Sが最小となるx，yの値を求めよ．
出典：大阪大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
制約2x+y=aからy=a−2xとし、直方体なので0<x<a/2を確認する。(1)はV=x2(a−2x)を微分して、端では体積が0に近づくことも見て内部の極大を最大とする。(2)ではa=1として表面積S=2x2+4xyをxだけで表し、V−S/2の増減を調べる。端点は開区間なので、内部の極小が本当に全体の最小になるように符号変化を確認する。
解答
(1)
条件x+x+y=aより y=a−2x である。直方体の辺の長さは正なので 0<x<2a である。体積は V=x2y=x2(a−2x)=ax2−2x3 である。微分すると V′=2ax−6x2=2x(a−3x) である。 0<x<a/3ではV′>0、a/3<x<a/2ではV′<0であるから、Vはx=a/3で最大となる。このとき y=a−2⋅3a=3a である。したがって x=3a,y=3a である。
(2)
a=1のとき y=1−2x,0<x<21 である。表面積は、上下の正方形2面と側面4面を合わせて S=2x2+4xy である。したがって S=2x2+4x(1−2x)=4x−6x2 であり、体積は V=x2(1−2x) である。よって
V−21S=x2(1−2x)−21(4x−6x2)=−2x3+4x2−2x
である。
これをF(x)とおくと F′(x)=−6x2+8x−2=−2(3x−1)(x−1) である。0<x<1/2では、0<x<1/3のときF′(x)<0、1/3<x<1/2のときF′(x)>0である。したがってF(x)は x=31 で最小となる。このとき y=1−2⋅31=31 である。求める値は x=31,y=31 である。
別解。(1)は相加相乗平均でも求められる。x,x,y>0かつx+x+y=aだから 3x2y≦3x+x+y=3a である。したがって V=x2y≦(3a)3 であり、等号はx=x=yのときに成り立つ。よってx=y=a/3で最大である。
(2)も微分を使わずに確認できる。上で得た F(x)=V−21S=−2x3+4x2−2x について F(x)+278=−272(3x−4)(3x−1)2 と因数分解できる。0<x<1/2では3x−4<0であるから F(x)+278≧0 であり、等号は3x−1=0、すなわちx=1/3のときに限る。したがってF(x)はx=1/3で最小となり、このときy=1/3である。
