大阪大学 1997年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a$ は1より小さい正の定数とする． $x y$ 平面の第1象限に，原点 $O$ からの距離が $a$ の点 $P$ をとる．点 $P$ を中心に半径1の円をえがき， $x$ 軸との交点を $A$ ， $C$ ， $y$ 軸との交点を $B$ ， $D$ とする．ただし，点 $A$ の $x$ 座標，点 $B$ の $y$ 座標はともに正とする．
$∠ P O A = θ$ とおくとき，次の問に答えよ．

(1) 四角形 $A B C D$ の面積 $S$ を $a$ と $θ$ で表せ．

(2) $θ$ が $0^{\circ} < θ < 90^{\circ}$ の範囲を動くとき， $S$ の最大値および $S$ が最大となるときの $θ$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 1997年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

点 $P$ を $(a cos θ, a sin θ)$ とおく。円と $x$ 軸の交点を結ぶ弦 $A C$ の長さ、円と $y$ 軸の交点を結ぶ弦 $B D$ の長さを、それぞれ中心から軸までの距離を使って求める。四角形 $A B C D$ は対角線 $A C$ , $B D$ が座標軸上にあり直交するので、面積は $A C \cdot B D /2$ である。最大化では $S^{2}$ を考え、 $sin^{2} θ cos^{2} θ ≦ 1/4$ を使って等号条件 $θ = 4 5^{\circ}$ を確認する。

解答

(1)

$P = (a cos θ, a sin θ)$ とおく。円の方程式は $(x - a cos θ)^{2} + (y - a sin θ)^{2} = 1$ である。 $x$ 軸との交点では $y = 0$ なので $(x - a cos θ)^{2} = 1 - a^{2} sin^{2} θ$ である。したがって、2つの交点 $A, C$ の距離は $A C = 2 1 - a^{2} sin^{2} θ$ である。同様に、 $y$ 軸との交点では $x = 0$ だから $(y - a sin θ)^{2} = 1 - a^{2} cos^{2} θ$ であり $B D = 2 1 - a^{2} cos^{2} θ$ である。

対角線 $A C$ は $x$ 軸上、対角線 $B D$ は $y$ 軸上にあるので、これらは直交する。直交する対角線をもつ四角形の面積は対角線の積の半分であるから

S = \frac{1}{2} A C \cdot B D = 2 (1 - a^{2} sin^{2} θ) (1 - a^{2} cos^{2} θ)

である。

(2)

$S > 0$ なので $S^{2}$ を最大にすればよい。(1)より

S^{2} = 4 (1 - a^{2} sin^{2} θ) (1 - a^{2} cos^{2} θ) = 4 {1 - a^{2} (sin^{2} θ + cos^{2} θ) + a^{4} sin^{2} θ cos^{2} θ} = 4 (1 - a^{2} + a^{4} sin^{2} θ cos^{2} θ) .

ここで

sin^{2} θ cos^{2} θ = (sin θ cos θ)^{2} = \frac{1}{4} sin^{2} 2 θ ≦ \frac{1}{4}

であり、 $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ において等号は $2 θ = 9 0^{\circ}, θ = 4 5^{\circ}$ のときに成り立つ。

したがって

S^{2} ≦ 4 (1 - a^{2} + \frac{a ^{4}}{4}) = 4 (1 - \frac{a ^{2}}{2})^{2}

である。 $0 < a < 1$ より $1 - a^{2} /2 > 0$ だから $S ≦ 2 - a^{2}$ である。よって最大値は $2 - a^{2}$ であり、そのとき $θ = 4 5^{\circ}$ である。

大阪大学 1997年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1997年度
文系数学第2問