大阪大学 1997年度
文系数学 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 数列、数と式
- 解法
- 対称式の利用、漸化式の変形、解と係数の関係
- 難易度
- 3 / 10 計算量 3 / 10 目安 8分
問題
数列{an}を初項1，公比rの等比数列とし，数列{bn}を初項1，公比sの等比数列とする．第n項が
xn=an+bn(n=1,2,3,⋯⋯)
で与えられる数列{xn}を考える．
x2=2，x4=14のとき，次の問に答えよ．
(1) r，sを求めよ．ただしr>sとする．
(2) すべての自然数nについてxn+2=2xn+1+xnが成り立つことを示せ．
出典：大阪大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
まずan=rn−1, bn=sn−1なので、x2=r+s, x4=r3+s3である。条件からr+sとrsを求め、r,sを2次方程式の2解として決める。(2)では、r,sが同じ方程式t2=2t+1を満たすことを使い、rn+1, sn+1をそれぞれrn,rn−1およびsn,sn−1で表してから加える。添字はxn=rn−1+sn−1であることに合わせて確認する。
解答
(1)
等比数列の初項がともに1であるから an=rn−1,bn=sn−1 であり、したがって xn=rn−1+sn−1 である。条件x2=2より r+s=2 である。またx4=14より r3+s3=14 である。ここで r3+s3=(r+s)3−3rs(r+s) だから 14=23−3rs⋅2=8−6rs となる。よって rs=−1 である。
したがってr,sは、和が2、積が−1である2数なので、2次方程式 t2−2t−1=0 の2つの解である。解は t=1±2 であり、r>sより r=1+2,s=1−2 である。
(2)
(1)よりr,sはいずれも t2−2t−1=0 を満たす。すなわち t2=2t+1 である。これにt=rを代入してrn−1を掛けると、すべての自然数nについて rn+1=2rn+rn−1 である。同様に sn+1=2sn+sn−1 である。
これらを加えると rn+1+sn+1=2(rn+sn)+(rn−1+sn−1) となる。xn=rn−1+sn−1であるから、左辺はxn+2、右辺は2xn+1+xnである。したがって xn+2=2xn+1+xn がすべての自然数nについて成り立つ。
