大阪大学 1996年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

2個の公平なサイコロを同時に投げる試行を $n$ 回行い、第 $i$ 回の和を $X_{i}$ 、最大を $M (n)$ 、最小を $m (n)$ とする。

(1) $M (2) > m (2)$ の確率を求めよ。

(2) $M (n) = 5$ の確率を求めよ。

(3) $m (n)$ の期待値 $a_{n}$ について $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ。

出典：大阪大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

和の出方を1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1通りとして数える。(1)(2)は余事象、(3)は最小値が2以外である確率を上から抑える。

2個の目の和 $2, 3, \dots, 12$ の出方は順に

1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

通りである。(1) $M (2) = m (2)$ は2回の和が等しい場合である。その確率は

\frac{2 ( 1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2} + 5 ^{2} ) + 6 ^{2}}{3 6 ^{2}} = \frac{73}{648} .

従って

P (M (2) > m (2)) = 1 - \frac{73}{648} = \frac{575}{648} .

すべての和が5以下である確率から、すべて4以下である確率を引けばよい。1回で5以下は10通り、4以下は6通りだから

P (M (n) = 5) = (\frac{5}{18})^{n} - (\frac{1}{6})^{n} .

常に $2 ≦ m (n) ≦ 12$ である。また $m (n) ≧ 3$ となるのは、どの回にも和2が出ない場合なので

P (m (n) ≧ 3) = (\frac{35}{36})^{n} .

従って

0 ≦ a_{n} - 2 ≦ 10 (\frac{35}{36})^{n} .

右辺は0へ収束するから、はさみうちにより

n \to \infty lim a_{n} = 2.