大阪大学 1996年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$A = (a c b 4)$ 、 $O$ を零行列とする。

(1) $A^{500} = O$ なら $A^{2} = O$ を示せ。

(2) $A^{2} = O$ で、 $A$ の4成分をどのように並べ替えて得る行列も逆行列をもたないとする。 $(a, b, c)$ をすべて求めよ。

出典：大阪大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

2次行列の固有方程式を用いて高い冪を2次まで下げる。(2)は $A^{2} = O$ から積と和を決め、すべての並べ替えが特異となる条件を3通りの積の組合せで調べる。

解答

(1)

$A^{500} = O$ から $det A = 0$ である。2次行列の固有方程式より

A^{2} - (tr A) A + (det A) E = O,

従って $A^{2} = (tr A) A$ である。もし $tr A \neq = 0$ なら、帰納的に $A^{500} = (tr A)^{499} A$ となり、 $A^{500} = O$ から $A = O$ を得るが、右下成分は4なので矛盾する。従って $tr A = 0$ であり、 $A^{2} = O$ である。(2)直接計算すると

A^{2} = (a^{2} + b c c (a + 4) b (a + 4) b c + 16) = O .

$b c = - 16$ なので $b, c \neq = 0$ であり、 $b (a + 4) = c (a + 4) = 0$ から $a = - 4$ を得る。従って成分の多重集合は ${- 4, 4, b, c}$ で、 $b c = - 16$ である。4数を2組に分けた積が行列式の正負2項になる。どの並べ替えでも行列式が0であるには、3通りの組分けの積がすべて等しくなければならない。既に $(- 4) \cdot 4 = b c = - 16$ であり、さらに

(- 4) b = 4 c

が必要なので $c = - b$ である。 $b c = - 16$ から $b^{2} = 16$ を得る。逆に成分が $4, 4, - 4, - 4$ なら、どの組分けでも対角積と非対角積は等しく、すべて特異である。従って

(a, b, c) = (- 4, 4, - 4), (- 4, - 4, 4) .

大阪大学 1996年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

大阪大学 1996年度
後期・理系数学後期第1問