大阪大学 1996年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$0 < a ≦ 1$ 、中心 $(a, 0)$ 、半径1の円を $C$ とする。原点を通る傾き $m$ の直線と $C$ の2交点の中点を $R$ とする。

(1) $R$ の軌跡 $D$ を求めよ。

(2) $D$ に原点を加えた曲線と $C$ が囲む図形の第1象限部分 $E$ を $x$ 軸回転した体積 $V (a)$ を求めよ。

(3) $V (a)$ の最大値を求めよ。

出典：大阪大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

弦の中点は円の中心から直線へ下ろした垂線の足である。(2)は大円内・小円外の第1象限部分として円板法で積分し、(3)を微分する。

直線を $y = m x$ とする。円の中心 $(a, 0)$ からこの直線への垂線の足が $R$ なので

R = (\frac{a}{1 + m ^{2}}, \frac{am}{1 + m ^{2}}) .

従って

(x - \frac{a}{2})^{2} + y^{2} = (\frac{a}{2})^{2} .

$m$ が実数の範囲では原点だけは到達しない。よって $D$ は直径が原点と $(a, 0)$ を結ぶ線分である円から原点を除いたもの。(2) $D$ に原点を加えた小円は $C$ の内部にある。第1象限で、 $C$ の上半円の高さの二乗は

1 - (x - a)^{2} (0 ≦ x ≦ a + 1),

小円の上半円では

a x - x^{2} (0 ≦ x ≦ a) .

従って円板法により

V (a) = π \int_{0}^{a + 1} {1 - (x - a)^{2}} d x - π \int_{0}^{a} (a x - x^{2}) d x = π (\frac{2}{3} + a - \frac{a ^{3}}{2}) .

$V^{'} (a) = π (1 - 3 a^{2} /2)$ より、 $0 < a ≦ 1$ では $a = 2/3$ で最大となる。従って

V_{m a x} = \frac{2 π}{3} (1 + \frac{2}{3}) .