問題
曲線 と軸との交点を左から順に，，，とする．線分，，とこの曲線によって囲まれる部分をそれぞれ，，とする．次の問に答えよ．
(1) との面積が等しくなるための必要十分条件はであることを示せ．
(2) 上の曲線を軸に関して対称移動し，次に軸の正の方向にだけ平行移動してできる曲線の式を求めよ．
(3) ととの面積がすべて等しいとき，，をを用いて表せ．
方針
面積の等式は符号つき積分に直す。 は 、 は対称移動を使って同じ形の条件に帰着する。最後は 、 とおき、 を満たす解だけを残す。
解答
(1)
とおく。 であるから、 では 、 では である。したがって である。よって は と同値である。
ここで であるから
である。これを整理すると となる。 なので、 は すなわち と同値である。
(2)
を 軸に関して対称移動すると である。さらに 軸の正の方向に だけ平行移動すると、式は となる。したがって である。
(3)
(1) より、 の条件は である。
次に の条件を作る。(2) の移動後の曲線は、 軸との交点が左から である。この曲線で左の二つの囲まれた面積が等しいことは、元の曲線で であることに対応する。よって (1) と同じ形の条件を、 の代わりに に用いると である。整理して を得る。 、 とおく。 であり、 より である。(1), (2) を で割ると となる。
(3) から は解でないことが分かるので、 である。これを (4) に代入して分母を払うと を得る。したがって
が候補である。
このうち を満たすものを調べる。 と は を満たさない。また を上の式に入れると となり不適である。残る では となり、確かに を満たす。よって である。
別解。 は符号つき積分で と書ける。これを直接計算しても (2) と同じ条件 が得られる。対称移動を使う方法は計算を再利用でき、直接積分は符号の対応を自分で確認しやすい。どちらでも最後の連立処理は同じである。