問題
の辺，，のおのおのをの比に内分する点をそれぞれ，，とする．ここではを満たす実数とする．次の問に答えよ．
(1) ，とするとき，，を，，を用いて表せ．
(2) がの値によらず成り立つのはがどのような三角形のときか．
出典：大阪大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
まず内分比の向きを固定し、 の位置ベクトルを で表す。比の条件は長さの二乗に直し、 の恒等式として係数を比較する。必要条件として と角度条件を得たあと、逆向きに正三角形なら条件が全ての で成り立つことも確認する。
解答
(1)
内分比を、、、 と読む。すると
である。よって
であり、また
である。
(2)
、、 とおく。与えられた条件は、 のすべてで
が成り立つことである。両辺は正なので二乗して とできる。
(1) より であり、 である。したがって が の恒等式になる。
定数項を比較すると である。 なので を得る。このとき上の恒等式は となる。 だから、差を計算すれば である。これがすべての で になるためには が必要である。
よって
であるから、 かつ である。したがって は正三角形である。
逆に が正三角形なら 、 である。上の式に代入すると となり、さらに なので、与えられた比の条件はすべての で成り立つ。ゆえに答えは である。
別解。条件がすべての で成り立つなら、特定の値を代入してもよい。 を に近づけると、条件から が必要である。さらに を代入すると
であるから、 が必要である。すでに なので、二乗して となり、 を得る。以後は同じく正三角形であること、またその逆を確認すればよい。