大阪大学 1996年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ を0以上の実数とする．次の問に答えよ．

(1) $2^{a} + 2^{b} ≦ 1 + 2^{a + b}$ を示せ．

(2) $a$ ， $b$ ， $c$ が $a + b + c = 3$ をみたしながら動くとき $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ の最大値を求めよ．また，最大値を与える $a$ ， $b$ ， $c$ の組 $(a, b, c)$ をすべて求めよ．

出典：大阪大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

(1) は指数法則で左辺を整理し、差を $2^{a} - 1) (2^{b} - 1)$ の非負性に帰着する。(2) は (1) を二度使って、二つの指数を一つにまとめるたびに和が増えないことを示す。最後に等号条件を二度分けて追い、どの変数だけが $3$ になれるかを決める。

解答

(1)

$A = 2^{a}, B = 2^{b}$ とおく。 $a, b ≧ 0$ であるから $A ≧ 1, B ≧ 1$ である。示すべき不等式は $A + B ≦ 1 + A B$ であり、右辺から左辺を引くと $1 + A B - A - B = (A - 1) (B - 1)$ である。ここで $A - 1 ≧ 0$ , $B - 1 ≧ 0$ なので $(A - 1) (B - 1) ≧ 0$ である。したがって $2^{a} + 2^{b} ≦ 1 + 2^{a + b}$ が成り立つ。

また、等号成立は $A = 1$ または $B = 1$ 、すなわち $a = 0$ または $b = 0$ のときである。

(2)

(1) より、 $x, y ≧ 0$ に対して $2^{x} + 2^{y} ≦ 1 + 2^{x + y}$ が成り立つ。これをまず $a, b$ に、次に $a + b, c$ に用いると $2^{a} + 2^{b} + 2^{c} ≦ 1 + 2^{a + b} + 2^{c}$ かつ $2^{a + b} + 2^{c} ≦ 1 + 2^{a + b + c}$ であるから、 $a + b + c = 3$ より $2^{a} + 2^{b} + 2^{c} ≦ 2 + 2^{3} = 10$ となる。

次に等号条件を調べる。第一段階の等号は $a = 0$ または $b = 0$ のときであり、第二段階の等号は $a + b = 0$ または $c = 0$ のときである。 $a + b = 0$ のとき、 $a, b ≧ 0$ より $a = b = 0$ で、 $c = 3$ となる。 $c = 0$ のときは $a + b = 3$ で、さらに第一段階の等号条件から $a = 0$ または $b = 0$ である。したがって $(a, b, c) = (3, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 3)$ である。これらはいずれも実際に和を $10$ にする。よって最大値は $10$ で、最大値を与える組は $(3, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 3)$ である。

別解。 $x = 2^{a}, y = 2^{b}, z = 2^{c}$ とおくと、 $x, y, z ≧ 1$ かつ $x y z = 2^{a + b + c} = 8$ である。すると $x y z + 2 - (x + y + z) = (x - 1) (y - 1) + (y - 1) (z - 1) + (z - 1) (x - 1) + (x - 1) (y - 1) (z - 1)$ であり、右辺はすべて非負である。したがって $x + y + z ≦ x y z + 2 = 10$ を得る。等号は $x, y, z$ のうち高々一つだけが $1$ より大きいとき、すなわち $a, b, c$ のうち二つが $0$ のときで、同じ結論になる。

大阪大学 1996年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1996年度
文系数学第1問