大阪大学 1995年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$C_{1} : y = x^{3/2}$ 、 $C_{2} : y = x^{3/2} e^{- x^{2} /2}$ $(x ≧ 0)$ 。 $0 ≦ t ≦ 1$ で、 $0$ から $t$ までの2曲線間を回転した体積を $V_{1} (t)$ 、 $t$ から1までの $C_{2}$ 下を回転した体積を $V_{2} (t)$ とする。

(1) $V = V_{1} + V_{2}$ 。

(2) $V$ を最小にする $t$ 。

出典：大阪大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

円板法で二つの体積を同一積分にまとめ、 $x^{3} e^{- x^{2}}$ を $u = x^{2}$ で積分する。得た $V (t)$ を微分して符号を調べる。

解答

円板法から

V_{1} = π \int_{0}^{t} x^{3} (1 - e^{- x^{2}}) d x, V_{2} = π \int_{t}^{1} x^{3} e^{- x^{2}} d x .

(1)

$\int x^{3} e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} (x^{2} + 1) e^{- x^{2}}$ を用いて整理すると

V (t) = π {\frac{t ^{4}}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{e} + (t^{2} + 1) e^{- t^{2}}} .

(2)

微分すると

V^{'} (t) = π t^{3} (1 - 2 e^{- t^{2}}) .

$0 < t ≦ 1$ で、 $t^{2} < lo g 2$ なら負、 $t^{2} > lo g 2$ なら正である。 $0 < lo g 2 < 1$ なので、 $V$ は

t = lo g 2

でただ一つの最小値をとる。

大阪大学 1995年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1995年度
後期・理系数学後期第3問