大阪大学 1995年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$f (x) = x^{4} /4 + a_{1} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{3} x + 1$ が $α < β < γ$ で極値をとる。対応する点を $A, B, C$ とする。

(1) $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ を求めよ。

(2) 直線 $A B$ の傾きを因数分解した形で求めよ。

(3) $α, β, γ$ が等差数列で $A B ⊥ B C$ のとき $β - α$ を求めよ。

(4) さらに $f$ が偶関数のとき、 $A, B, C$ を通り軸が $y$ 軸に平行な放物線を求めよ。

出典：大阪大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$f^{'}$ を3根で因数分解して係数比較する。弦の傾きは $f^{'}$ の定積分の平均として計算し、等差条件で簡単化する。偶関数条件から3根の配置を確定する。

解答

(1)

f^{'} (x) = x^{3} + 3 a_{1} x^{2} + 2 a_{2} x + a_{3} = (x - α) (x - β) (x - γ) .

係数比較から

a_{1} = - \frac{α + β + γ}{3}, a_{2} = \frac{α β + β γ + γ α}{2}, a_{3} = - α β γ .

(2)

$d = β - α$ 、 $e = γ - β$ とおく。 $x = α + t$ として

\frac{f ( β ) - f ( α )}{β - α} = \frac{1}{d} \int_{0}^{d} t (t - d) (t - d - e) d t = \frac{d ^{2} ( d + 2 e )}{12} .

従って傾きは

\frac{( β - α ) ^{2} ( 2 γ - α - β )}{12} .

(3)

等差数列なら $d = e = h > 0$ で、 $A B$ の傾きは $h^{3} /4$ 。同様に $B C$ の傾きは $- h^{3} /4$ である。直交条件から $- h^{6} /16 = - 1$ 、従って

β - α = h = 2^{2/3} .

(4)

$f$ が偶関数なので $a_{1} = a_{3} = 0$ 、3つの極値点は $α = - h, β = 0, γ = h$ である。 $f^{'} (x) = x (x^{2} - h^{2})$ より $f (x) = x^{4} /4 - h^{2} x^{2} /2 + 1$ 。従って $B = (0, 1)$ 、 $A, C$ の高さは $1 - h^{4} /4$ である。求める放物線を $y = 1 + k x^{2}$ とすると $k h^{2} = - h^{4} /4$ だから

y = 1 - \frac{h ^{2}}{4} x^{2} = 1 - \frac{x ^{2}}{2 ^{2/3}} .

大阪大学 1995年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

大阪大学 1995年度
後期・理系数学後期第1問