大阪大学 1995年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

平面 $H : x + y + z = 3$ と $x y$ 平面の間で、 $A_{n}$ から $H$ へ垂線を下ろした足を $B_{n}$ 、 $B_{n}$ から $x y$ 平面への垂線の足を $A_{n + 1}$ とする。

(1) $(x_{n}, y_{n})$ の漸化式。

(2) $A_{1}$ を通り $H$ と $x y$ 平面の両方に直交する平面。

(3) $[A_{1} B_{1} A_{2}] : [A_{2} B_{2} A_{3}]$ 。

(4) $x_{n}, y_{n}$ の一般項。

出典：大阪大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

$H$ の法線方向への射影量を求める。和 $x_{n} + y_{n}$ と差 $x_{n} - y_{n}$ に分けると、差は不変、和は一次漸化式になる。

$A_{n} = (x_{n}, y_{n}, 0)$ とする。 $H$ の法線は $(1, 1, 1)$ であり、 $A_{n} + λ (1, 1, 1) \in H$ から

λ_{n} = \frac{3 - x _{n} - y _{n}}{3} .

従って $A_{n + 1} = (x_{n} + λ_{n}, y_{n} + λ_{n}, 0)$ 。(1)

x_{n + 1} = \frac{2 x _{n} - y _{n} + 3}{3}, y_{n + 1} = \frac{- x _{n} + 2 y _{n} + 3}{3} .

従って $a = 2/3, b = - 1/3, c = 1$ 、 $a^{'} = - 1/3, b^{'} = 2/3, c^{'} = 1$ 。(2)求める平面の法線は $(1, 1, 1)$ と $(0, 0, 1)$ の両方に垂直な $(1, - 1, 0)$ 。従って

x - y = x_{1} - y_{1} .

$A_{n} B_{n} = λ_{n} (1, 1, 1)$ 、 $B_{n} A_{n + 1} = - λ_{n} (0, 0, 1)$ なので面積は $2 λ_{n}^{2} /2$ 。また(1)から $λ_{n + 1} = λ_{n} /3$ だから

[A_{1} B_{1} A_{2}] : [A_{2} B_{2} A_{3}] = 9 : 1.

$d_{n} = x_{n} - y_{n}$ 、 $s_{n} = x_{n} + y_{n}$ とおくと

d_{n + 1} = d_{n}, s_{n + 1} = 2 + \frac{s _{n}}{3} .

従って

d_{n} = x_{1} - y_{1}, s_{n} = 3 + \frac{x _{1} + y _{1} - 3}{3 ^{n - 1}} .

よって

x_{n} = \frac{1}{2} (3 + x_{1} - y_{1} + \frac{x _{1} + y _{1} - 3}{3 ^{n - 1}}),

y_{n} = \frac{1}{2} (3 - x_{1} + y_{1} + \frac{x _{1} + y _{1} - 3}{3 ^{n - 1}}) .