大阪大学 1994年度理系数学第4問解答・解説

問題

各自然数 $n$ に対して曲線 $y = e^{n x} - 1$ と円 $x^{2} + y^{2} = 1$ の第1象限における交点の座標を $(p_{n}, q_{n})$ とする．

(1) $x ≧ 0$ のとき不等式 $e^{n x} - 1 ≧ n x$ が成り立つことを証明せよ．

(2) (1)の結果を用いて $n \to \infty lim p_{n} = 0$ を証明せよ．

(3) (2)の結果を用いて $n \to \infty lim q_{n}$ および $n \to \infty lim n p_{n}$ を求めよ．

(4) 4点 $(0, 0)$ ， $(p_{n}, 0)$ ， $(0, q_{n})$ ， $(p_{n}, q_{n})$ を頂点とする長方形の面積を $S_{n}$ で表し，また曲線 $y = e^{n x} - 1$ ， $x$ 軸，直線 $x = p_{n}$ で囲まれた図形の面積を $T_{n}$ で表すことにする．このとき， $n \to \infty lim \frac{T _{n}}{S _{n}}$ を求めよ．

出典：大阪大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

まず $F (x) = e^{n x} - 1 - n x$ を考えて， $x ≧ 0$ で増加することから $e^{n x} - 1 ≧ n x$ を示す。交点では $q_{n} = e^{n p_{n}} - 1$ かつ $p_{n}^{2} + q_{n}^{2} = 1$ である。(2)では $q_{n} ≦ 1$ と $q_{n} ≧ n p_{n}$ から $p_{n} ≦ 1/ n$ を得る。(3)では円の式で $q_{n} \to 1$ を出し， $e^{n p_{n}} = 1 + q_{n}$ の対数を取って $n p_{n} \to lo g 2$ を得る。(4)では $S_{n} = p_{n} q_{n}$ ， $T_{n} = \int_{0}^{p_{n}} (e^{n x} - 1) d x$ を交点条件で整理して極限を取る。

解答

(1)

$F (x) = e^{n x} - 1 - n x$ とおく。 $x ≧ 0$ において $F^{'} (x) = n (e^{n x} - 1)$ である。 $n$ は自然数で， $x ≧ 0$ なら $e^{n x} ≧ 1$ だから $F^{'} (x) ≧ 0$ である。したがって $F (x)$ は $x ≧ 0$ で増加する。また $F (0) = 0$ なので $F (x) ≧ 0$ である。よって $e^{n x} - 1 ≧ n x (x ≧ 0)$ が成り立つ。

(2)

交点 $(p_{n}, q_{n})$ は第1象限にあるので $p_{n} > 0, q_{n} > 0$ であり，曲線上にあることから $q_{n} = e^{n p_{n}} - 1$ である。(1)を $x = p_{n}$ に用いると $q_{n} = e^{n p_{n}} - 1 ≧ n p_{n}$ である。一方，円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上の点なので $q_{n} ≦ 1$ である。したがって $0 < p_{n} ≦ \frac{q _{n}}{n} ≦ \frac{1}{n}$ となる。はさみうちにより $n \to \infty lim p_{n} = 0$ である。

(3)

円の方程式より $p_{n}^{2} + q_{n}^{2} = 1$ であり， $q_{n} > 0$ だから $q_{n} = 1 - p_{n}^{2}$ である。(2)より $p_{n} \to 0$ なので $n \to \infty lim q_{n} = 1$ である。

また，曲線上にあることから $e^{n p_{n}} = 1 + q_{n}$ である。両辺は正なので対数を取ると $n p_{n} = lo g (1 + q_{n})$ となる。 $q_{n} \to 1$ より $n \to \infty lim n p_{n} = lo g 2$ である。

(4)

長方形の面積は $S_{n} = p_{n} q_{n}$ である。また，曲線と $x$ 軸，直線 $x = p_{n}$ で囲まれた図形の面積は $T_{n} = \int_{0}^{p_{n}} (e^{n x} - 1) d x$ である。積分すると $T_{n} = [\frac{1}{n} e^{n x} - x]_{0}^{p_{n}} = \frac{e ^{n p_{n}} - 1}{n} - p_{n}$ であり， $e^{n p_{n}} - 1 = q_{n}$ だから $T_{n} = \frac{q _{n}}{n} - p_{n}$ となる。したがって $\frac{T _{n}}{S _{n}} = \frac{q _{n} / n - p _{n}}{p _{n} q _{n}} = \frac{1}{n p _{n}} - \frac{1}{q _{n}}$ である。

(3)より $n p_{n} \to lo g 2$ ， $q_{n} \to 1$ だから $lim_{n \to \infty} \frac{T _{n}}{S _{n}} = \frac{1}{l o g 2} - 1$ である。よって $\frac{1}{lo g 2} - 1$ を得る。

大阪大学 1994年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

大阪大学 1994年度
理系数学第4問