大阪大学 1994年度
理系数学 第3問

解答

(1)

加法定理より $x=\sin (t+\alpha )=\sin t\cos \alpha +\cos t\sin \alpha$ であり，$y=\sin (t+\beta )=\sin t\cos \beta +\cos t\sin \beta$ である。また $z=\sin t$ である。ここで$x\sin \beta -y\sin \alpha$を計算すると，$\cos t$の項は $\cos t\sin \alpha \sin \beta -\cos t\sin \beta \sin \alpha$ となって消える。したがって

である。

よって曲線上のすべての点は $x\sin \beta -y\sin \alpha -z\sin (\beta -\alpha )=0$ を満たす。この式は原点も満たすから，求める平面は $x\sin \beta -y\sin \alpha -z\sin (\beta -\alpha )=0$ である。

(2)

$\alpha =\theta$，$\beta =2\theta$を(1)の平面に代入する。$0<\theta <\pi /2$より$\sin \theta >0$であり，

だから，平面の方程式は $2x\cos \theta -y-z=0$ となる。

点$(-1,2,0)$とこの平面との距離を$d$とすると $d=\frac{|2(-1)\cos \theta -2-0|}{\sqrt{(2\cos \theta {)}^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}}$ である。したがって $d=\frac{2(1+\cos \theta )}{\sqrt{4{\cos }^2\theta +2}}$ となる。 $u=\cos \theta$ とおくと，$0<\theta <\pi /2$より$0<u<1$である。距離の2乗は $d^2=\frac{4(1+u{)}^2}{4u^2+2}$ である。これを$f(u)$とおく。分母は正なので，微分して $f^{\prime }(u)=\frac{8(1+u)(4u^2+2)-4(1+u{)}^2\cdot 8u}{(4u^2+2{)}^2}$ である。分子を整理すると $8(1+u)\{4u^2+2-4u(1+u)\}=8(1+u)(2-4u)$ となる。$0<u<1$では$1+u>0$だから，$f(u)$は$u=1/2$で最大になる。

このとき $d^2=\frac{4(1+1/2{)}^2}{4(1/2{)}^2+2}=3$ である。よって距離の最大値は $\sqrt{3}$ である。

別解。最後の最大化は不等式で見てもよい。$d^2\leqq 3$は $\frac{4(1+u{)}^2}{4u^2+2}\leqq 3$ と同値であり，分母が正なので $4(1+u{)}^2\leqq 3(4u^2+2)$ と同値である。これは $0\leqq 2(2u-1{)}^2$ に一致する。等号は$u=1/2$で成り立つので，やはり最大値は$\sqrt{3}$である。