大阪大学 1992年度文系数学第3問解答・解説

問題

1辺の長さが1の2つの正六角形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ および $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5} B_{6}$ を上下の面とし，これらを12個の正三角形 $A_{1} B_{1} A_{2}$ ， $B_{1} A_{2} B_{2}$ ， $\dots\dots$ ， $B_{6} A_{1} B_{1}$ でつないだ図のような立体図形を考える．次の問に答えよ．ただし，上下の正六角形がそれらの中心を結ぶ直線と垂直になることは使ってよい．

(1) ベクトル $A_{1} B_{1} + B_{2} A_{3} + A_{4} B_{4} + B_{5} A_{6}$ の長さを求めよ．

(2) 2つのベクトル $A_{1} B_{1} + A_{3} B_{3} + A_{5} B_{5}$ と $B_{1} A_{2} + B_{3} A_{4} + B_{5} A_{6}$ の内積を求めよ．

出典：大阪大学 1992年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

上下の正六角形の中心を結ぶ直線を鉛直軸にし、上面と下面を30度ずらした半径1の正六角形として座標化する。側面が正三角形であることから上下の面の距離 $h$ を求める。あとは各ベクトルを水平成分と鉛直成分に分け、正三角形状に120度ずつ回転している水平成分が打ち消し合うことを使う。

解答

上下の正六角形の中心を結ぶ直線を $z$ 軸とし、上面を $z = \frac{h}{2}$ 、下面を $z = - \frac{h}{2}$ の平面に置く。正六角形の1辺は1なので、各正六角形の外接円の半径も1である。上面の頂点を

A_{k} = (cos \frac{( k - 1 ) π}{3}, sin \frac{( k - 1 ) π}{3}, \frac{h}{2})

とし、下面は30度回転しているから

B_{k} = (cos (\frac{( k - 1 ) π}{3} + \frac{π}{6}), sin (\frac{( k - 1 ) π}{3} + \frac{π}{6}), - \frac{h}{2})

とおける。

側面の辺 $A_{1} B_{1}$ の水平成分の長さの2乗は、半径1の円周上で中心角 $\frac{π}{6}$ だけ離れた2点の距離の2乗だから

O A_{1}_{水平} - O B_{1}_{水平}^{2} = 2 - 2 cos \frac{π}{6} = 2 - 3

である。側面は正三角形で $A_{1} B_{1} = 1$ なので $1 = (2 - 3) + h^{2}$ より $h^{2} = 3 - 1$ である。

(1)

$A_{1} B_{1}$ と $A_{4} B_{4}$ の水平成分は互いに反対向きで等しい。また $B_{2} A_{3}$ と $B_{5} A_{6}$ の水平成分も互いに反対向きで等しい。したがって4つの水平成分の和は0である。

鉛直成分は

A_{i} B_{i} では - h, B_{i} A_{i + 1} では h

であるから、与えられた和の鉛直成分は $- h + h - h + h = 0$ である。よって

A_{1} B_{1} + B_{2} A_{3} + A_{4} B_{4} + B_{5} A_{6} = 0

となり、求める長さは $0$ である。

(2)

u = A_{1} B_{1} + A_{3} B_{3} + A_{5} B_{5}

とおく。3つの水平成分は互いに120度ずつ回転した同じ長さのベクトルなので、和は0である。鉛直成分はすべて $- h$ だから $u = (0, 0, - 3 h)$ である。

同様に

v = B_{1} A_{2} + B_{3} A_{4} + B_{5} A_{6}

とおくと、水平成分は打ち消し合い、鉛直成分はすべて $h$ なので $v = (0, 0, 3 h)$ である。したがって $u \cdot v = (0, 0, - 3 h) \cdot (0, 0, 3 h) = - 9 h^{2}$ であり、 $h^{2} = 3 - 1$ を代入して $- 9 (3 - 1)$ を得る。

大阪大学 1992年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1992年度
文系数学第3問