問題
円をとし，直線をとする．に内接しに接する円の中心をとする．の軌跡のうち座標がより大きい部分とによって囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
接する小円の中心を 、半径を とおく。求める部分では なので直線 への接触から であり、円 に内接する条件は「中心間距離 小円の半径 」で表せる。これを2乗して の軌跡を放物線として出し、直線 より上にある範囲を積分する。
解答
小円の中心を 、半径を とする。問題で求めるのは の部分なので、小円が直線 に接することから である。また小円は円 に内接するから、原点 と の距離について が成り立つ。したがって すなわち である。左辺は0以上なので、右辺も0以上でなければならないが、以下で得る範囲では実際に満たされる。
両辺を2乗すると である。よって となり、中心 の軌跡は である。
この放物線が直線 より上にある条件は であり、これは と同値である。したがって求める面積は
である。