大阪大学 1992年度
文系数学 第1問

解答

2曲線 $y=f(x)$ と $y=f(x+t)$ が共有点をもつことは、ある実数 $x$ について $f(x)=f(x+t)$ が成り立つことと同値である。ここで $t\ne 0$ として差を取ると

である。したがって共有点をもたないためには、すべての $t\ne 0$ に対して $3x^2+(3t+2a)x+t^2+at+b=0$ が実数解をもたなければならない。

この2次方程式の判別式を $D(t)$ とすると

である。よって、すべての $t\ne 0$ で実数解をもたないための条件は $4a^2-12b-3t^2<0(t\ne 0)$ である。

まず $4a^2-12b\leqq 0$ ならば、任意の $t\ne 0$ について $D(t)\leqq -3t^2<0$ となるので共有点は存在しない。逆に $4a^2-12b>0$ なら、十分小さい $t\ne 0$ を取れば $3t^2<4a^2-12b$ となり、$D(t)>0$ である。このとき2次方程式は実数解をもち、共有点が生じる。

したがって必要十分条件は $4a^2-12b\leqq 0$ すなわち $b\geqq \frac{a^2}{3}$ である。定数項 $c$ は差 $f(x+t)-f(x)$ で消えるので、$c$ には制限はない。

別解。微分による見方もできる。 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ であり、この2次式がすべての実数 $x$ で0以上である条件は $(2a{)}^2-12b\leqq 0$ すなわち $b\geqq \frac{a^2}{3}$ である。このとき $f$ は単調に増加し、等号の場合も $f^{\prime }(x)=3{\left(x+\frac{a}{3}\right)}^2$ となって一点を除いて増加しているので、異なる2点で同じ値を取らない。したがって $t\ne 0$ なら $f(x+t)\ne f(x)$ である。

一方、$b<\frac{a^2}{3}$ なら $f^{\prime }(x)=0$ は異なる2つの実数解をもち、$f$ は極大・極小をもつ。その2つの値の間の水平線は曲線と少なくとも2点で交わるので、異なる $x_1,x_2$ について $f(x_1)=f(x_2)$ となる。$t=x_2-x_1\ne 0$ とすれば共有点が生じる。よって同じ条件が得られる。