問題
空間において，点を中心とする半径1の球面を，点を中心とする半径1の球面を，点を中心とする半径3の球面をとする．
(1) ，に外接する球面の中心は平面上にあることを示せ．
(2) ，に外接しに内接する球面の中心の座標を，座標をとする．点の軌跡を求め，その概形を図示せよ．
方針
求める球面の中心を ，半径を と置く。， に外接する条件では，二つの中心までの距離がともに になるため，その差を取って を得る。(2) では中心を として，外接条件から を で表し， への内接条件 に代入する。平方根を含む式は，移項してから二乗し，最後に楕円の標準形まで整理する。
解答
(1)
求める球面の中心を 半径を とする。 の中心は ，半径は である。求める球面が に外接するから，中心間距離は半径の和 に等しく， である。同様に， の中心は なので である。
この二式の右辺は等しいので，左辺を引き算すると である。展開して より であるから となる。したがって，求める球面の中心は 平面上にある。
(2)
(1)より，中心を ，半径を とおいてよい。 に外接する条件から である。よって である。
一方， の中心は ，半径は である。求める球面が に内接するので，中心間距離と半径 の和が になる。したがって であり， を代入して を得る。
この式を整理する。第1項を右辺に移すよりも，第1項を左に残して第2項を右に移すと である。両辺を二乗すると となる。左辺を展開して整理すると だから すなわち である。さらに二乗して を得る。展開すると であるから となる。
平方完成すると であり，したがって
を得る。
よって点 の軌跡は，中心 ， 方向の半径 ， 方向の半径 の楕円である。概形は 軸に関して対称な楕円で， 座標の範囲は である。