大阪大学 1991年度文系数学第1問解答・解説

問題

直線 $y = 1$ を $l$ ，直線 $y = k x$ を $l^{'}$ とする．行列 $A = (a c b d)$ によって表される1次変換 $f$ は $l$ 上の点を $l^{'}$ 上の点に移すものとする．

(1) $c = k a$ ， $d = k b$ が成り立つことを示せ．

(2) $A^{2} = (a + k b) A$ を示せ．

(3) $A^{2}$ が零行列でないとき， $f$ による $l^{'}$ の像は $l^{'}$ であることを示せ．

出典：大阪大学 1991年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

直線 $l$ 上の一般の点を $(x, 1)$ と置き，それを行列 $A$ で移した点が必ず $l^{'}$ 上にあるという条件を， $x$ についての恒等式として読む。そこから第2行が第1行の $k$ 倍であることを出すと， $A$ の形が一気に決まる。(2) はその形を用いた行列積の計算で示し，(3) は $l^{'}$ の方向ベクトル $(1, k)$ が零でない倍率で同じ直線上を動くことを確認する。最後は「 $l^{'}$ に含まれる」だけでなく， $l^{'}$ 全体が得られることまで示す。

解答

(1)

直線 $l : y = 1$ 上の点は $(x, 1)$ と表される。この点を $A$ で移すと

A (x 1) = (a x + b c x + d)

すなわち，座標で書けば $(a x + b, c x + d)$ である。これが直線 $l^{'} : y = k x$ 上にあるので，すべての実数 $x$ について $c x + d = k (a x + b)$ が成り立つ。右辺を展開すると $c x + d = k a x + k b$ であり， $x$ の係数と定数項を比較して $c = k a, d = k b$ を得る。

(2)

(1)より

A = (a k a b k b)

である。したがって

A^{2} = (a k a b k b) (a k a b k b)

であり，各成分を計算すると

A^{2} = (a^{2} + k ab k a^{2} + k^{2} ab ab + k b^{2} k ab + k^{2} b^{2})

となる。一方，

(a + k b) A = (a + k b) (a k a b k b)

の各成分は

(a^{2} + k ab k a^{2} + k^{2} ab ab + k b^{2} k ab + k^{2} b^{2})

で一致する。よって $A^{2} = (a + k b) A$ である。

(3)

直線 $l^{'}$ 上の点は $(x, k x) = x (1, k)$ と表される。これを $A$ で移すと

A (x k x) = x (a + k b k a + k^{2} b) = x (a + k b) (1 k)

である。したがって得られる点は少なくとも $l^{'}$ 上にある。

ここで，もし $a + k b = 0$ ならば，(2)より $A^{2} = (a + k b) A = 0$ となり， $A^{2}$ は零行列になってしまう。これは仮定に反する。したがって $a + k b \neq = 0$ である。

このとき，任意の $l^{'}$ 上の点 $t (1, k)$ に対し， $x = \frac{t}{a + k b}$ と選べば

A (x k x) = t (1 k)

となる。よって $l^{'}$ 上の任意の点が実際に得られるので， $f$ により $l^{'}$ から得られる点全体は $l^{'}$ である。

大阪大学 1991年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1991年度
文系数学第1問