大阪大学 1989年度
文系数学 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 微分、積分
- 解法
- 接線・法線、面積計算、展開・因数分解
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 —
問題
関数f(x)=ax3+bx2+cx+dはx=3のとき極小値0をとり，曲線y=f(x)上の点(1,8)における接線が(3,0)を通るとする．このとき，
(1) 定数a，b，c，dの値を求めよ．
(2) y=f(x)とx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．
出典：大阪大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
極小値0を x=3 でとることから f(3)=0, f′(3)=0 を置く。さらに点 (1,8) を通るので f(1)=8、その接線が (3,0) を通るので接線の傾きは (0−8)/(3−1)=−4、すなわち f′(1)=−4 である。この4条件で3次式の係数を決める。面積は f(x)=(x−3)2(x+1) と因数分解し、−1≦x≦3 で非負であることを確認してから積分する。
解答
(1)
x=3 のとき極小値 0 をとるので f(3)=0,f′(3)=0 である。また、点 (1,8) が曲線上にあるから f(1)=8 である。さらに、この点における接線が (3,0) を通るので、その傾きは 3−10−8=−4 である。したがって f′(1)=−4 である。 f(x)=ax3+bx2+cx+d とおくと f′(x)=3ax2+2bx+c である。4つの条件は 27a+9b+3c+d=0, 27a+6b+c=0, a+b+c+d=8, 3a+2b+c=−4 である。これを解くと a=1,b=−5,c=3,d=9 を得る。よって f(x)=x3−5x2+3x+9 である。実際に因数分解すると f(x)=(x−3)2(x+1) である。
(2)
x 軸との交点は (x−3)2(x+1)=0 より x=−1,x=3 である。(x−3)2≧0 であり、−1≦x≦3 では x+1≧0 だから、この区間で f(x)≧0 である。したがって求める面積 S は S=∫−13(x−3)2(x+1)dx である。
展開して (x−3)2(x+1)=x3−5x2+3x+9 だから
S=∫−13(x3−5x2+3x+9)dx=[4x4−35x3+23x2+9x]−13=364
である。
別解。(1)では、x=3 で極小値0をとることから最初に f(x)=(x−3)2(px+q) と置くこともできる。f(1)=8 と f′(1)=−4 を代入すれば p=1,q=1 が得られ、すぐに f(x)=(x−3)2(x+1) と決まる。
