問題
空間内において，球面と平面との交わりの曲線をとし，球面と平面との交わりの曲線をとする．ととが同一球面上にあることを示し，その球面の方程式を求めよ．
出典：大阪大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
2つの円を同時に含む球面を一般形 でおく。まず は 上の円なので、 を代入した式が と一致することから を決める。次に については、既知の球面との差が平面 の式の定数倍なら、その平面上で2つの球面は同じ曲線を切り出す。この条件から残る係数 を決め、平方完成して球面の方程式を得る。
解答
求める球面を とおく。
まず を含む条件を調べる。 は、球面 と平面 の交わりである。 を代入すると すなわち である。展開して である。
一方、求める球面に を代入すると である。これが上の円と一致すればよいので である。したがって求める球面は の形に限られる。
次に を含む条件を調べる。 は と の交わりである。前者は と書ける。
求める球面の式からこの球面の式を引くと である。これが平面の式 の定数倍であれば、平面上では2つの球面の式が同じ値になり、同じ円 を含む。 に合わせると、その定数倍は である。したがって となる必要があり、 である。
よって求める球面は である。平方完成すると となる。これが求める球面の方程式である。
別解。2つの球面が同じ平面で同じ円を切り出すとき、2つの球面の方程式の差は、その平面上で になる一次式である。したがって を含む球面は と表せる。この式に を代入し、 の円 と一致するように と決めても、同じ球面が得られる。