問題
曲線上の点におけるの接線をとする．曲線と直線とで囲まれた図形の面積が点を通る直線で2等分されている．直線の方程式を求めよ．
出典：大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
まず点 における接線 を求め、曲線との交点と全体面積を出す。二等分する直線 は を通るので、 と接線 の交点の 座標を と置く。右側部分の面積を積分して全体の半分に等しい条件を立て、最後に領域を実際に切る の解だけを残す。
解答
曲線を とする。導関数は であるから、点 における接線の傾きは である。したがって である。
曲線 と直線 の交点は すなわち から求まる。因数分解すると なので、囲まれる範囲は である。
全体の面積は であり、計算すると である。したがって半分は である。
直線 と の交点の 座標を とする。この交点は であり、 は を通るので である。 を含む右側の部分の面積は
である。これが に等しい。
計算すると条件は となる。すなわち である。よって である。
ただし が囲まれた領域を実際に切るには、接線 との交点が にある必要がある。したがって だけが適する。
よって求める直線は
である。