大阪大学 1983年度文系数学第2問解答・解説

問題

座標平面上に3点 $A (1, 1)$ ， $B (2, 2)$ ， $P (- 300, - 600)$ がある． $△ A B P$ の重心を $P_{1}$ ， $△ A B P_{1}$ の重心を $P_{2}$ ， $\dots\dots$ とし，一般に $△ A B P_{n}$ の重心を $P_{n + 1}$ とする．どんな $n$ に対して点 $P_{n}$ は第4象限にはいるか．

出典：大阪大学 1983年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

初期点を $P_{0}$ と置き、重心の定義から $P_{n + 1} = (A + B + P_{n}) /3$ を作る。各座標は同じ形の一次漸化式になり、固定値 $3/2$ との差が $1/3$ 倍される。第4象限の条件 $x_{n} > 0, y_{n} < 0$ を $3^{n}$ の不等式に直す。

解答

初期点を $P_{0} = P = (- 300, - 600)$ とおく。 $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ とすると、 $P_{n + 1}$ は三角形 $A B P_{n}$ の重心なので $P_{n + 1} = \frac{A + B + P _{n}}{3}$ である。 $A = (1, 1), B = (2, 2)$ だから $x_{n + 1} = 1 + \frac{x _{n}}{3}, y_{n + 1} = 1 + \frac{y _{n}}{3}$ である。

この漸化式の固定値はどちらも $\frac{3}{2}$ である。したがって $x_{n} - \frac{3}{2} = \frac{1}{3 ^{n}} (x_{0} - \frac{3}{2})$ より $x_{n} = \frac{3}{2} - \frac{603}{2 \cdot 3 ^{n}}$ である。同様に $y_{n} = \frac{3}{2} - \frac{1203}{2 \cdot 3 ^{n}}$ である。

点 $P_{n}$ が第4象限に入る条件は $x_{n} > 0, y_{n} < 0$ である。これらはそれぞれ $3^{n} > 201,$ $3^{n} < 401$ と同値である。 $3^{4} = 81, 3^{5} = 243, 3^{6} = 729$ なので $201 < 3^{n} < 401$ を満たすのは $n = 5$ だけである。

大阪大学 1983年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

大阪大学 1983年度
文系数学第2問