問題
以下の問いに答えよ．
(1) 方程式
の整数解のつを求めよ．
(2) 方程式
の整数解をすべて求めよ．
(3) が(2)の方程式の整数解であるとする．の最小値と，そのときのの値を求めよ．
出典：岡山大学 2025年度 前期 文系 第1問
方針
標準解法（一般解の差を0に最も近づける）
一次不定方程式の特殊解から一般解を作り， を整数パラメータの一次式にする。絶対値を最小にするには，その一次式が0に最も近くなる整数を選ぶ。別解では合同式から小さい特殊解を直接求める。
別解（合同式から小さい一般解を作る）
から を得て， とする。 が最小になる整数 を選ぶ。
解答
標準解法（一般解の差を0に最も近づける）
(1)
であるから，整数解の一つは
である。
(2)
(1)より は の整数解である。したがって
であり， と は互いに素だから，整数 を用いて
と表される。逆にこの形の はすべて を満たすので，求める整数解は
である。
(3)
(2)の一般解について
である。 は整数なので， を0に最も近くするには， に最も近い整数 を選べばよい。このとき
であり，
である。よって最小値は ，そのとき である。
別解（合同式から小さい一般解を作る）
(1)
より，例えば である。
(2)
を を法として見ると である。 の逆数は だから となる。したがって
が全整数解である。
(3)
である。 に最も近い整数は であり，
このとき である。よって最小値は2である。