岡山大学 2025年度文系数学第3問解答・解説

問題

関数

$y = 1 6^{x} + 1 6^{- x}$ $+ (2^{x + 1} + 2^{- x + 1})^{2}$ $- 125 (2^{x - 1} + 2^{- x - 1})$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　 $t = 2^{x} + 2^{- x}$ とおくとき，関数 $t$ の最小値と，そのときの $x$ の値を求めよ．

(2)　関数 $y$ を(1)で与えた $t$ の式で表せ．

(3)　関数 $y$ が最小となるときの $x$ の値を求めよ．

出典：岡山大学 2025年度前期文系第3問

方針

$u = 2^{x}$ とおくと $t = u + 1/ u$ であり，まず相加相乗平均で $t ≧ 2$ を得る。与式を $t$ の多項式に直し， $t ≧ 2$ 上で微分して最小となる $t$ を求め，最後に $2^{x} + 2^{- x} = t$ を解く。

解答

(1)

$u = 2^{x}$ とおくと $u > 0$ であり，

t = u + \frac{1}{u}

である。相加相乗平均より

u + \frac{1}{u} ≧ 2

で，等号は $u = 1$ ，すなわち $x = 0$ のときに成り立つ。したがって $t$ の最小値は $2$ ，そのとき $x = 0$ である。

(2)

$t = 2^{x} + 2^{- x}$ とすると

1 6^{x} + 1 6^{- x} = (2^{x})^{4} + (2^{- x})^{4} = t^{4} - 4 t^{2} + 2

である。また

(2^{x + 1} + 2^{- x + 1})^{2} = (2 t)^{2} = 4 t^{2}, 2^{x - 1} + 2^{- x - 1} = \frac{t}{2}

である。よって

y = t^{4} - 4 t^{2} + 2 + 4 t^{2} - 125 \cdot \frac{t}{2} = t^{4} - \frac{125}{2} t + 2

である。

(3)

(1)より $t ≧ 2$ である。 $g (t) = t^{4} - \frac{125}{2} t + 2$ とおくと

g^{'} (t) = 4 t^{3} - \frac{125}{2}

である。 $g^{'} (t) = 0$ より $8 t^{3} = 125$ ，すなわち $t = \frac{5}{2}$ である。 $g^{'} (t)$ は $t < \frac{5}{2}$ で負， $t > \frac{5}{2}$ で正だから， $t = \frac{5}{2}$ で最小となる。

したがって

2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}

を解けばよい。 $u = 2^{x}$ とおくと

u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}, 2 u^{2} - 5 u + 2 = 0

であるから， $u = 2, \frac{1}{2}$ である。よって求める $x$ は

x = 1, - 1

である。

岡山大学 2025年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2025年度
文系数学第3問