岡山大学 2025年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x, y$ を実数とする． $θ$ の関数 $f (θ) = cos 2 θ$ $+ x sin θ$ $- y - 1$ $(0 ≦ θ < 2 π)$ を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　 $f (θ)$ の最大値を $x, y$ を用いて表せ．

(2)　 $0 ≦ θ < 2 π$ であるすべての $θ$ について不等式 $f (θ) < 0$ が成り立つような点 $(x, y)$ 全体からなる領域を図示せよ．

出典：岡山大学 2025年度前期文系第2問

$s = sin θ$ とおくと $s$ は $[- 1, 1]$ を動き， $f$ は $- 2 s^{2} + x s - y$ という上に凸の二次関数になる。頂点が区間内にある場合と外にある場合に分けて最大値を出し，その最大値が負となる条件を領域としてまとめる。

$s = sin θ$ とおくと， $- 1 ≦ s ≦ 1$ であり，

f (θ) = cos 2 θ + x sin θ - y - 1 = - 2 s^{2} + x s - y

である。この二次関数の軸は $s = \frac{x}{4}$ である。

$∣ x ∣ ≦ 4$ のとき，軸が区間 $[- 1, 1]$ に入るので最大値は

\frac{x ^{2}}{8} - y

である。 $x > 4$ のときは $s = 1$ で最大となり，最大値は

x - y - 2

である。 $x < - 4$ のときは $s = - 1$ で最大となり，最大値は

- x - y - 2

である。

すべての $θ$ について $f (θ) < 0$ となる条件は，(1)で求めた最大値が負であることである。したがって求める領域は

⎩ ⎨ ⎧ y > \frac{x ^{2}}{8} y > x - 2 y > - x - 2 (- 4 ≦ x ≦ 4), (x > 4), (x < - 4)

で表される。境界は点 $(- 4, 2), (4, 2)$ を通る放物線 $y = \frac{x ^{2}}{8}$ の弧と，その両端から出る直線 $y = - x - 2$ ， $y = x - 2$ であり，境界は含まない。その上側全体が求める領域である。