問題
数直線上を動く点がある．点は，原点を出発して，枚のコインを回投げるごとに，表が出たら数直線上を正の向きにだけ進み，裏が出たら数直線上を負の向きにだけ進むものとする．コインの表が出る確率と裏が出る確率はともにであるとし，コインを回投げ終えた時点での点の座標をとする．コインを回投げるとき，以下の問いに答えよ．
(1) となる確率を求めよ．
(2) かつとなる確率を求めよ．
(3) かつとなる確率を求めよ．
出典：岡山大学 2024年度 前期 文系 第2問
方針
解法1（標準解法）
前半は表の回数で数え、後半は位置の状態表を1歩ずつ更新する。途中で負または3以上へ出る経路は即座に除く。
解法2（2歩ごとの対称遷移）
偶数時刻の位置だけを状態にし、2歩を一組にする。上限2では、どちらの状態からも位置0と位置2へ進む有効な2歩経路が各1通りとなるため、経路数が各組で2倍になる。
解答
解法1（標準解法）
(1)
となるには，10回のうち表が5回，裏が5回出ればよい。したがって求める確率は
である。
(2)
となる列は 通りである。このうち となる列は，最初の5回に表3回，残り5回に表2回が出る場合で
通りである。よって求める確率は
である。
(3)
時刻 に座標 にいる経路数を，途中で を満たすものだけについて数える。
最後に となるには，時刻9で にいる16通りから裏が出ればよい。したがって求める確率は
である。
解法2（2歩ごとの対称遷移）
(1)
表5回、裏5回となる列を選んで
(2)
となる通りから、となる
通りを除く。よって
(3)
条件を満たし、回後に位置にいる経路数をとする。位置0から2歩後に位置0,2へ行く有効経路は
の各1通りである。位置2からは
が各1通りである。は条件外なので使えない。
したがって
初期値から
以後は各組で両成分が2倍になる。よって
10回後に原点へ戻る有効経路は16通りなので
2歩遷移の中間点は必ず位置1であり、すべての時刻でを満たす。