岡山大学 2024年度文系数学第3問解答・解説

問題

平面上に三角形 $A B C$ を考え，その重心を $G$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　等式 $G A + GB + GC = 0$ が成り立つことを示せ．

(2)　平面上の任意の点 $P$ に対して，次の等式が成り立つことを示せ．

$∣ P A ∣^{2} + ∣ P B ∣^{2} + ∣ P C ∣^{2}$ $= 3∣ P G ∣^{2} + ∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2}$

(3)　次の等式が成り立つことを示せ．

$∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2}$ $= \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{3}$

(4)　三角形 $A B C$ の外接円の半径を $R$ とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$R^{2} ≧ \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{9}$

出典：岡山大学 2024年度前期文系第3問

重心の位置ベクトルから (1) を出す。(2)(3) は $a = G A, b = GB, c = GC$ とおいて， $a + b + c = 0$ を使って平方を展開する。(4) は外心を $P$ として (2) を適用する。

任意の点 $O$ を基準にすると，重心 $G$ について

O G = \frac{O A + O B + O C}{3}

である。したがって

G A + GB + GC = (O A - O G) + (O B - O G) + (O C - O G) = 0

である。

$u = P G$ ， $a = G A$ ， $b = GB$ ， $c = GC$ とおく。(1)より $a + b + c = 0$ である。また

P A = u + a, P B = u + b, P C = u + c

であるから，平方を展開して

∣ P A ∣^{2} + ∣ P B ∣^{2} + ∣ P C ∣^{2} = 3∣ u ∣^{2} + ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} + 2 u \cdot (a + b + c) = 3∣ P G ∣^{2} + ∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2}

である。

(2)と同じく $a = G A, b = GB, c = GC$ とおく。すると

A B = b - a, B C = c - b, C A = a - c

である。よって

∣ A B ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} + ∣ C A ∣^{2} = 2 (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2}) - 2 (a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)

である。一方， $a + b + c = 0$ より

∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} + 2 (a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0

である。これを代入すると

∣ A B ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} + ∣ C A ∣^{2} = 3 (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2})

であるから，求める等式が成り立つ。

三角形 $A B C$ の外心を $O_{1}$ とする。(2)で $P = O_{1}$ とすると

3 R^{2} = 3∣ O_{1} G ∣^{2} + ∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2}

である。右辺第1項は0以上なので

3 R^{2} ≧ ∣ G A ∣^{2} + ∣ GB ∣^{2} + ∣ GC ∣^{2}

である。(3)を用いて

3 R^{2} ≧ \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{3}

となるから，

R^{2} ≧ \frac{∣ A B ∣ ^{2} + ∣ B C ∣ ^{2} + ∣ C A ∣ ^{2}}{9}

である。