岡山大学 2024年度文系数学第4問解答・解説

問題

座標平面において，放物線 $y = - x^{2} + 1$ を $C,$ 原点を中心とする半径 $r$ の円を $D$ とする．ただし， $r > 0$ とする．放物線 $C$ と円 $D$ は共有点をもたないとする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $r$ の値の範囲を求めよ．

(2)　 $0 < θ < π$ のとき，円 $D$ 上の点 $(r cos θ, r sin θ)$ における $D$ の接線を $l$ とする．接線 $l$ と放物線 $C$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．ただし， $S$ は $r$ と $sin θ$ を用いて表すこと．

出典：岡山大学 2024年度前期文系第4問

(1) は共有点条件を $u = x^{2} ≧ 0$ の二次式 $u^{2} - u + 1 = r^{2}$ に直し，取り得る範囲を調べる。(2) は円の接線を出し，放物線との差が二次式になることから，2交点間の面積を根の差で計算する。

放物線 $C$ と円 $D$ が共有点をもつとすると， $y = 1 - x^{2}$ を円の方程式 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ に代入して

x^{2} + (1 - x^{2})^{2} = r^{2}

である。 $u = x^{2}$ とおくと $u ≧ 0$ で

u + (1 - u)^{2} = u^{2} - u + 1 = (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

である。したがって左辺の最小値は $\frac{3}{4}$ であり， $r^{2} ≧ \frac{3}{4}$ のとき共有点をもつ。共有点をもたない条件は

0 < r^{2} < \frac{3}{4}

であるから，求める範囲は

0 < r < \frac{3}{2}

である。

$s = sin θ, c = cos θ$ とおく。 $0 < θ < π$ より $s > 0$ である。円 $D$ 上の点 $(r c, r s)$ における接線 $l$ は

c x + sy = r

である。放物線 $y = - x^{2} + 1$ との交点の $x$ 座標は

- x^{2} + 1 = \frac{r - c x}{s}

すなわち

s x^{2} - c x + r - s = 0

を満たす。この二次方程式の判別式は

Δ = c^{2} - 4 s (r - s) = 1 + 3 s^{2} - 4 r s

である。(1)の範囲では $0 < r < \frac{3}{2}$ なので $Δ > 0$ であり，2交点が存在する。

接線と放物線の間の面積を求める。接線と放物線の差は

\frac{r - c x}{s} - (- x^{2} + 1) = x^{2} - \frac{c}{s} x + \frac{r}{s} - 1

である。この二次式の2つの根を $p < q$ とすると， $q - p = \frac{Δ}{s}$ である。2交点の間では放物線が接線より上にあるから，

S = \int_{p}^{q} (x - p) (q - x) d x = \frac{( q - p ) ^{3}}{6}

である。したがって

S = \frac{( 1 + 3 sin ^{2} θ - 4 r sin θ ) ^{3/2}}{6 sin ^{3} θ}

である。