岡山大学 2024年度文理共通数学第2問（理系2）解答・解説

問題

数直線上を動く点 $P$ がある．点 $P$ は，原点 $O$ を出発して， $1$ 枚のコインを $1$ 回投げるごとに，表が出たら数直線上を正の向きに $1$ だけ進み，裏が出たら数直線上を負の向きに $1$ だけ進むものとする．コインの表が出る確率と裏が出る確率はともに $\frac{1}{2}$ であるとし，コインを $n$ 回投げ終えた時点での点 $P$ の座標を $x_{n}$ とする．コインを $10$ 回投げるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $x_{10} = 0$ となる確率を求めよ．

(2)　 $x_{5} \neq = 1$ かつ $x_{10} = 0$ となる確率を求めよ．

(3)　 $0 ≦ x_{n} ≦ 2$ $(n = 1,$ $2, \dots,$ $9)$ かつ $x_{10} = 0$ となる確率を求めよ．

出典：岡山大学 2024年度前期文理共通第2問

方針

(1)(2) は表の回数で処理し，(3) は途中で $0 ≦ x_{n} ≦ 2$ を満たす経路数だけを時刻ごとに更新する。総事象は10回の表裏列 $2^{10}$ 通りである。

解答

(1)

$x_{10} = 0$ となるには，10回のうち表が5回，裏が5回出ればよい。したがって求める確率は

\frac{_{10} C _{5}}{2 ^{10}} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}

である。

(2)

$x_{10} = 0$ となる列は $_{10} C_{5} = 252$ 通りである。このうち $x_{5} = 1$ となる列は，最初の5回に表3回，残り5回に表2回が出る場合で

_{5} C_{3}_{5} C_{2} = 100

通りである。よって求める確率は

\frac{252 - 100}{2 ^{10}} = \frac{19}{128}

である。

(3)

時刻 $n$ に座標 $j$ にいる経路数を，途中で $0 ≦ j ≦ 2$ を満たすものだけについて数える。

n 0123456789 j = 0 1010204080 j = 1 01020408016 j = 2 0010204080

最後に $x_{10} = 0$ となるには，時刻9で $j = 1$ にいる16通りから裏が出ればよい。したがって求める確率は

\frac{16}{2 ^{10}} = \frac{1}{64}

である。

岡山大学 2024年度文理共通数学 第2問（理系2）

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2024年度
文理共通数学第2問（理系2）