問題
数直線上を動く点がある．点は，原点を出発して，枚のコインを回投げるごとに，表が出たら数直線上を正の向きにだけ進み，裏が出たら数直線上を負の向きにだけ進むものとする．コインの表が出る確率と裏が出る確率はともにであるとし，コインを回投げ終えた時点での点の座標をとする．コインを回投げるとき，以下の問いに答えよ．
(1) となる確率を求めよ．
(2) かつとなる確率を求めよ．
(3) かつとなる確率を求めよ．
出典：岡山大学 2024年度 前期 文理共通 第2問
方針
(1)(2) は表の回数で数える。(3) は途中で許される座標を に制限し，時刻ごとの到達経路数を表で更新する。総事象は10回の表裏列 通りである。
解答
(1)
となるには，10回のうち表が5回，裏が5回出ればよい。したがって求める確率は
である。
(2)
まず となる列は 通りである。このうち となるには，最初の5回で表が3回，裏が2回出て，残り5回で表が2回，裏が3回出ればよい。したがってそのような列は
通りである。よって求める確率は
である。
(3)
時刻 に座標 にいる経路数を数える。ただし途中では のものだけを残す。各時刻の経路数は次のようになる。
最後に となるには，時刻9で にいる34通りから裏が出ればよい。したがって求める確率は
である。