岡山大学 2024年度文理共通数学第1問解答・解説

問題

$m, n$ を正の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $x^{3 m} - 1$ は $x^{3} - 1$ で割り切れることを示せ．

(2)　 $x^{n} - 1$ を $x^{2} + x + 1$ で割った余りを求めよ．

(3)　 $x^{2024} - 1$ を $x^{2} - x + 1$ で割った余りを求めよ．

出典：岡山大学 2024年度前期文理共通第1問

(1) は $X^{m} - 1$ の因数分解を用いる。(2) は $x^{3} \equiv 1$ と見て $n$ を3で割った余りで分類し，(3) は $x^{3} \equiv - 1$ ， $x^{6} \equiv 1$ を用いて指数を6で割った余りに直す。

$X = x^{3}$ とおくと

x^{3 m} - 1 = X^{m} - 1 = (X - 1) (X^{m - 1} + X^{m - 2} + \dots + X + 1)

である。したがって $x^{3 m} - 1$ は $x^{3} - 1$ で割り切れる。

$x^{2} + x + 1 = 0$ とみなして余りを考えると， $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ より $x^{3}$ の余りは $1$ である。よって $n$ を3で割った余りで分ければよい。

n を 3 で割った余り 012 x^{n} - 1 の余り 0 x - 1 x^{2} - 1 = - x - 2

したがって余りは， $n \equiv 0$ のとき $0$ ， $n \equiv 1$ のとき $x - 1$ ， $n \equiv 2$ のとき $- x - 2$ である。

$x^{2} - x + 1 = 0$ とみなすと， $x^{2} = x - 1$ であるから

x^{3} = x (x - 1) = x^{2} - x = - 1

である。したがって $x^{6}$ の余りは $1$ である。 $2024 = 6 \cdot 337 + 2$ より

x^{2024} - 1

の余りは $x^{2} - 1$ の余りに等しい。 $x^{2} = x - 1$ を用いて

x^{2} - 1 = x - 2

であるから，求める余りは $x - 2$ である。