問題
箱の中に，からまでの数字を書いた札がそれぞれ枚ずつあり，全部で枚入っている．の人がこの箱から札を無作為に取り出す．とが枚ずつ，が枚取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(1) が持つ札の数字が同じである確率を求めよ．
(2) が持つ札の数字が異なり，が持つ札の数字も異なり，かつ，が持つ札の数字もすべて異なる確率を求めよ．
(3) が持つ札の数字のいずれかが，が持つ札の数字のいずれかと同じである確率を求めよ．
方針
解法1
各人の手札を順に選ぶとし，全事象を 通りで数える。(2)はAの手札が異なる場合を対称性で固定し，BとCの取り方を数える。(3)は「AとCに共通する数字がない」余事象を，Aが同じ数字を2枚持つ場合と異なる数字を持つ場合に分ける。
解法2（取り出す順序を組み替えて条件付き確率で求める方法）
札を誰が先に受け取るかを入れ替えても、各人へ無作為に配られる分布は変わらない。(2)は の順、(3)は の順で考え、残った各数字の枚数から条件付き確率を掛ける。
解答
解法1
(1)
の手札の取り方は 通りである。同じ数字の札を2枚取るには，数字を 通りに選び，その数字の札 枚から 枚を選べばよい。したがって確率は
である。
(2)
全事象の数は
である。 が異なる数字を持つ取り方は 通りである。対称性により， が数字 を1枚ずつ持つとして数えると，残りの枚数は である。
このとき が を取る場合は 通りで，その後 が3種類を1枚ずつ取る方法は 通りである。 が または を取る場合はそれぞれ 通りで，その後の の取り方はそれぞれ 通りである。よって， の各取り方に対して
通りである。したがって求める確率は
である。
(3)
余事象として， と が共通する数字を持たない場合を数える。
が同じ数字を2枚持つ場合， の取り方は 通りである。残りのうち， が と同じ数字を1枚，別の数字を1枚取る場合は 通りで，その後の の取り方は 通りである。また， が別の数字だけから2枚取る場合は 通りで，その後の の取り方は 通りである。よってこの場合は 通りである。
が異なる数字を1枚ずつ持つ場合， の取り方は 通りである。 が と共通する数字を持たないためには，残りの1種類の札3枚をすべて が取る必要がある。その前に は が持つ2種類の残り4枚から2枚を取るので， 通りである。よってこの場合は 通りである。
余事象の確率は
である。したがって求める確率は
である。
解法2（取り出す順序を組み替えて条件付き確率で求める方法）
(1)
の2枚の選び方は 通りである。同じ数字を持つ選び方は
通りだから
(2)
の順に取り出すと考える。まず が3種類を1枚ずつ取る確率は
このとき残りは各数字2枚ずつである。 の2枚が異なる確率は
が異なる2種類を取った後、残り4枚の数字別枚数は の並べ替えである。したがって の2枚が異なる確率は
以上を掛けて
(3)
の次に が3枚取ると考え、共通する数字がない余事象を求める。
の数字が同じ確率は である。このとき は残り7枚のうち、別の2種類の札6枚から3枚を選ぶ必要があるので
の数字が異なる確率は である。このとき共通を避けるには、残る1種類の札3枚をすべて取るしかないから
よって
したがって求める確率は