岡山大学 2023年度理系数学第2問解答・解説

問題

$a < 0,$ $b > 0$ とする． $2$ つの曲線 $C : y = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ と $D : y = a x^{2} + b$ がある．いま， $x > 0$ で $C$ と $D$ が共有点をもち，その点における $2$ つの曲線の接線が一致しているとする．その共有点の $x$ 座標を $t$ とし， $D$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $D$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を $\pm p$ とし， $p > 0$ とする． $S$ を $a$ と $p$ を用いて表せ．

(2)　 $a, b$ を $t$ を用いて表せ．

(3)　 $S$ を $t$ を用いて表せ．

(4)　 $t > 0$ の範囲で， $S$ が最大となるような $D$ の方程式を求めよ．

出典：岡山大学 2023年度前期理系第2問

方針

接点の座標を $t$ として，値と微分係数の一致から $a, b$ を決定する。放物線と $x$ 軸で囲まれる面積は零点 $\pm p$ を用いて積分し，最後は $u = t^{2}$ とおいて1変数関数の最大を調べる。

解答

(1)

$D$ は $x = \pm p$ で $x$ 軸と交わるから， $b = - a p^{2}$ である。したがって

D : y = a (x^{2} - p^{2})

と書ける。 $a < 0$ より，囲まれた部分の面積は

S = \int_{- p}^{p} a (x^{2} - p^{2}) d x = - \frac{4}{3} a p^{3}

である。

(2)

接点の $x$ 座標が $t$ であるから，値と微分係数の一致より

a t^{2} + b = \frac{1}{t ^{2} + 1}, 2 a t = - \frac{2 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

である。 $t > 0$ より

a = - \frac{1}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}, b = \frac{2 t ^{2} + 1}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

を得る。

(3)

$p^{2} = - b / a = 2 t^{2} + 1$ であるから，(1)と(2)より

S = \frac{4}{3} \cdot \frac{( 2 t ^{2} + 1 ) ^{3/2}}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

である。

(4)

$u = t^{2} (u > 0)$ とおくと，定数倍を除いて

\frac{( 2 u + 1 ) ^{3/2}}{( u + 1 ) ^{2}}

を最大にすればよい。この対数を微分すると

\frac{3}{2 u + 1} - \frac{2}{u + 1} = \frac{1 - u}{( 2 u + 1 ) ( u + 1 )}

である。よって $0 < u < 1$ で増加， $u > 1$ で減少するので，最大は $u = 1$ ，すなわち $t = 1$ のときである。このとき

a = - \frac{1}{4}, b = \frac{3}{4}

であるから，求める方程式は

y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{4}

である。

岡山大学 2023年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2023年度
理系数学第2問