岡山大学 2023年度理系数学第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ の第 $1$ 項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が

$S_{n} = \frac{7}{6} (a_{n} - 1)$

を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし， $lo g_{10} 2 = 0.3010,$ $lo g_{10} 3 = 0.4771,$ $lo g_{10} 7 = 0.8451$ とする．

(1)　一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(2)　 $a_{n}$ が $89$ 桁の整数となるとき， $n$ を求めよ．

(3)　 $n$ を(2)で求めたものとする． $a_{n}$ の $1$ の位の数字を求めよ．

(4)　 $n$ を(2)で求めたものとする． $a_{n}$ の最高位の数字を求めよ．

出典：岡山大学 2023年度前期理系第1問

方針

解法1

まず $n = 1$ を代入して初項を求め， $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ を用いて等比数列であることを導く。桁数は常用対数で $1 0^{88} ≦ a_{n} < 1 0^{89}$ を判定し，1の位は周期，最高位は常用対数の小数部分で決める。

解法2（部分和そのものの漸化式を解く方法）

$a_{n}$ を直接比較する代わりに、与式から $a_{n} = \frac{6}{7} S_{n} + 1$ と表して $S_{n}$ の漸化式を作る。一次漸化式を等比型へ直せば一般項が得られ、後半は指数105の桁・剰余・最高位をそれぞれ独立に判定できる。

解答

解法1

(1)

$n = 1$ を与式に代入すると

a_{1} = \frac{7}{6} (a_{1} - 1)

であるから， $a_{1} = 7$ である。 $n ≧ 2$ のとき， $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ より

a_{n} = \frac{7}{6} (a_{n} - 1) - \frac{7}{6} (a_{n - 1} - 1) = \frac{7}{6} (a_{n} - a_{n - 1})

となる。したがって $a_{n} = 7 a_{n - 1}$ である。よって

a_{n} = 7^{n}

である。

(2)

$a_{n}$ が $89$ 桁である条件は

1 0^{88} ≦ 7^{n} < 1 0^{89}

である。常用対数をとると

88 ≦ 0.8451 n < 89

である。 $104 \cdot 0.8451 = 87.8904$ ， $105 \cdot 0.8451 = 88.7355$ ， $106 \cdot 0.8451 = 89.5806$ より，求める値は

n = 105

である。

(3)

$7^{n}$ の1の位は $7, 9, 3, 1$ を周期 $4$ として繰り返す。 $105 \equiv 1 (mod 4)$ であるから， $a_{105} = 7^{105}$ の1の位の数字は $7$ である。

(4)

$lo g_{10} 7^{105} = 88.7355$ であるから， $7^{105} = 1 0^{88} \cdot 1 0^{0.7355}$ である。 $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2 = 0.6990$ ， $lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 0.7781$ より

lo g_{10} 5 < 0.7355 < lo g_{10} 6

である。したがって $5 < 1 0^{0.7355} < 6$ となり，最高位の数字は $5$ である。

解法2（部分和そのものの漸化式を解く方法）

(1)

$S_{1} = a_{1}$ を与式へ代入すると

S_{1} = \frac{7}{6} (S_{1} - 1)

より $S_{1} = 7$ である。また与式は

a_{n} = \frac{6}{7} S_{n} + 1

と書ける。 $n ≧ 2$ では $S_{n} = S_{n - 1} + a_{n}$ だから

S_{n} = S_{n - 1} + \frac{6}{7} S_{n} + 1, S_{n} = 7 S_{n - 1} + 7. (1)

ここで $T_{n} = 6 S_{n} + 7$ とおくと、(1)から

T_{n} = 6 (7 S_{n - 1} + 7) + 7 = 7 (6 S_{n - 1} + 7) = 7 T_{n - 1} .

$T_{1} = 49$ より

T_{n} = 7^{n + 1}, S_{n} = \frac{7 ^{n + 1} - 7}{6} .

したがって

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 7^{n} .

(2)

$7^{n}$ が89桁である条件は

1 0^{88} ≦ 7^{n} < 1 0^{89}, 88 ≦ 0.8451 n < 89.

ここで

104 \cdot 0.8451 = 87.8904, 105 \cdot 0.8451 = 88.7355, 106 \cdot 0.8451 = 89.5806

だから

n = 105.

(3)

7^{2} = 49 \equiv - 1 (mod 10)

である。よって

7^{105} = 7 (7^{2})^{52} \equiv 7 (- 1)^{52} \equiv 7 (mod 10) .

したがって1の位は $7$ である。

(4)

lo g_{10} 7^{105} = 88.7355.

一方、与えられた値から

lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2 = 0.6990, lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 0.7781.

したがって

lo g_{10} (5 \cdot 1 0^{88}) < lo g_{10} 7^{105} < lo g_{10} (6 \cdot 1 0^{88}) .

ゆえに

5 \cdot 1 0^{88} < 7^{105} < 6 \cdot 1 0^{88}

であり、最高位の数字は $5$ である。

岡山大学 2023年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（部分和そのものの漸化式を解く方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（部分和そのものの漸化式を解く方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2023年度
理系数学第1問