岡山大学 2023年度文系数学第4問解答・解説

問題

箱の中に， $1$ から $3$ までの数字を書いた札がそれぞれ $3$ 枚ずつあり，全部で $9$ 枚入っている． $A, B$ の $2$ 人がこの箱から札を無作為に取り出す． $A$ が $2$ 枚， $B$ が $3$ 枚取り出すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $A$ が持つ札の数字が同じである確率を求めよ．

(2)　 $A$ が持つ札の数字のいずれかが， $B$ が持つ札の数字のいずれかと同じである確率を求めよ．

出典：岡山大学 2023年度前期文系第4問

全事象を $A$ の2枚，続いて $B$ の3枚を選ぶ方法で数える。(1)は同じ数字2枚の直接計算，(2)はAとBに共通する数字がない余事象を，Aが同じ数字を持つ場合と異なる数字を持つ場合に分ける。

$A$ の2枚が同じか異なるかで場合分けし、その条件のもとで $B$ が共通数字を避ける確率を求める。最後に全確率の公式で余事象を合成する。

$A$ の手札の取り方は $_{9} C_{2} = 36$ 通りである。同じ数字を2枚持つ取り方は，数字の選び方が $3$ 通り，各数字について札の選び方が $_{3} C_{2} = 3$ 通りである。したがって確率は

\frac{3 \cdot _{3} C _{2}}{_{9} C _{2}} = \frac{1}{4}

である。

全事象の数は

_{9} C_{2}_{7} C_{3} = 1260

である。余事象として， $A$ と $B$ が共通する数字を持たない場合を数える。

$A$ が同じ数字を2枚持つ場合， $A$ の取り方は $9$ 通りである。 $B$ は残り2種類の数字の札 $6$ 枚から $3$ 枚を取ればよいから，この場合は

9 \cdot_{6} C_{3} = 180

通りである。

$A$ が異なる数字を1枚ずつ持つ場合， $A$ の取り方は $_{3} C_{2} \cdot 3^{2} = 27$ 通りである。 $B$ は残り1種類の数字の札3枚をすべて取る必要があるので，この場合は $27$ 通りである。

よって余事象の確率は

\frac{180 + 27}{1260} = \frac{23}{140}

である。したがって求める確率は

1 - \frac{23}{140} = \frac{117}{140}

である。

Pr (A の数字が同じ) = \frac{3 \cdot _{3} C _{2}}{_{9} C _{2}} = \frac{1}{4} .

$A$ と $B$ に共通する数字がない確率を求める。

$A$ が同じ数字を2枚持つ場合、残り7枚のうち別の2種類は計6枚である。したがって

Pr (共通なし ∣ A が同じ) = \frac{_{6} C _{3}}{_{7} C _{3}} = \frac{20}{35} .

$A$ が異なる2種類を1枚ずつ持つ場合、共通を避けるには残る1種類の札3枚をすべて $B$ が取るしかない。よって

Pr (共通なし ∣ A が異なる) = \frac{1}{_{7} C _{3}} = \frac{1}{35} .

全確率の公式から

Pr (共通なし) = \frac{1}{4} \cdot \frac{20}{35} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{35} = \frac{23}{140} .

ゆえに求める確率は

Pr (共通あり) = 1 - \frac{23}{140} = \frac{117}{140} .