岡山大学 2023年度文系数学第2問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 1,$ $a_{n + 1} = 7 a_{n}$ $(n = 1,$ $2,$ $3,$ $\dots)$ で定める．以下の問いに答えよ．ただし， $lo g_{10} 2 = 0.3010,$ $lo g_{10} 3 = 0.4771,$ $lo g_{10} 7 = 0.8451$ とする．

(1)　 $a_{n}$ が $89$ 桁の整数となるとき， $n$ を求めよ．

(2)　 $n$ を(1)で求めたものとする． $a_{n}$ の $1$ の位の数字を求めよ．

(3)　 $n$ を(1)で求めたものとする． $a_{n}$ の最高位の数字を求めよ．

出典：岡山大学 2023年度前期文系第2問

方針

解法1

漸化式から $a_{n} = 7^{n - 1}$ を得る。桁数は常用対数で指数 $n - 1$ の範囲を調べ，1の位は周期4，最高位は常用対数の小数部分で判定する。

解法2（指数を1文字に置き換えて3つの判定を統一する方法）

帰納的に $a_{n} = 7^{n - 1}$ を確かめ、指数 $m = n - 1$ を主役にする。桁数から $m$ を決めた後、同じ整数 $7^{105}$ に対して合同式と常用対数の上下評価を適用する。

解答

解法1

(1)

漸化式より

a_{n} = 7^{n - 1}

である。 $a_{n}$ が $89$ 桁である条件は

1 0^{88} ≦ 7^{n - 1} < 1 0^{89}

である。常用対数をとると

88 ≦ 0.8451 (n - 1) < 89

である。 $104 \cdot 0.8451 = 87.8904$ ， $105 \cdot 0.8451 = 88.7355$ ， $106 \cdot 0.8451 = 89.5806$ より， $n - 1 = 105$ である。したがって

n = 106

である。

(2)

このとき $a_{n} = 7^{105}$ である。 $7^{m}$ の1の位は $7, 9, 3, 1$ を周期 $4$ として繰り返す。 $105 \equiv 1 (mod 4)$ より，1の位の数字は $7$ である。

(3)

$lo g_{10} 7^{105} = 88.7355$ である。 $lo g_{10} 5 = 0.6990$ ， $lo g_{10} 6 = 0.7781$ だから

lo g_{10} 5 < 0.7355 < lo g_{10} 6

である。よって $5 < 1 0^{0.7355} < 6$ となるので，最高位の数字は $5$ である。

解法2（指数を1文字に置き換えて3つの判定を統一する方法）

漸化式から、数学的帰納法により

a_{n} = 7^{n - 1}

である。以下 $m = n - 1$ とおく。

(1)

$a_{n}$ が89桁であるための必要十分条件は

1 0^{88} ≦ 7^{m} < 1 0^{89},

すなわち

88 ≦ 0.8451 m < 89

である。

104 \cdot 0.8451 = 87.8904, 105 \cdot 0.8451 = 88.7355, 106 \cdot 0.8451 = 89.5806

より $m = 105$ である。したがって

n = m + 1 = 106.

(2)

このとき $a_{n} = 7^{105}$ である。

7^{105} = 7 (7^{2})^{52} \equiv 7 (- 1)^{52} \equiv 7 (mod 10)

より、1の位の数字は $7$ である。

(3)

lo g_{10} 7^{105} = 105 \cdot 0.8451 = 88.7355.

また

lo g_{10} 5 = 0.6990 < 0.7355 < 0.7781 = lo g_{10} 6.

よって

5 \cdot 1 0^{88} < 7^{105} < 6 \cdot 1 0^{88}

となり、最高位の数字は $5$ である。

岡山大学 2023年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2（指数を1文字に置き換えて3つの判定を統一する方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（指数を1文字に置き換えて3つの判定を統一する方法）

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2023年度
文系数学第2問