岡山大学 2023年度文系数学第1問解答・解説

問題

放物線 $C : y = x^{2}$ 上を動く $2$ 点 $P$ $(s, s^{2}),$ $Q$ $(t, t^{2})$ を考える．ただし， $s < 0 < t$ とする． $P$ を通り， $P$ における $C$ の接線と垂直に交わる直線を $l_{P}$ とする．また， $Q$ を通り， $Q$ における $C$ の接線と垂直に交わる直線を $l_{Q}$ とする．さらに， $l_{Q}$ は $l_{P}$ と垂直に交わるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $l_{P}$ の方程式を $s$ を用いて表せ．

(2)　 $l_{Q}$ の方程式を $s$ を用いて表せ．

(3)　 $l_{P}$ と $l_{Q}$ の交点を $R$ $(x_{0}, y_{0})$ とする． $x_{0}, y_{0}$ を $s$ を用いて表せ．

(4)　(3)の $y_{0}$ が最小となる $s$ の値を求めよ．

出典：岡山大学 2023年度前期文系第1問

方針

放物線の接線の傾きから法線の傾きを求める。2本の法線が垂直である条件から $s t = - 1/4$ を得て $t$ を消去し，交点を $s$ で表す。最後は $s^{2} + 1/ (16 s^{2})$ の最小を相加相乗平均で求める。

解答

(1)

点 $P (s, s^{2})$ における接線の傾きは $2 s$ である。したがって法線 $l_{P}$ の傾きは $- 1/ (2 s)$ であり，

l_{P} : y - s^{2} = - \frac{1}{2 s} (x - s)

である。

(2)

点 $Q (t, t^{2})$ における法線の傾きは $- 1/ (2 t)$ である。 $l_{P}$ と $l_{Q}$ が垂直であるから

(- \frac{1}{2 s}) (- \frac{1}{2 t}) = - 1

となり， $s t = - 1/4$ である。よって $t = - 1/ (4 s)$ である。したがって

l_{Q} : y - \frac{1}{16 s ^{2}} = 2 s (x + \frac{1}{4 s})

すなわち

l_{Q} : y = 2 s x + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 s ^{2}}

である。

(3)

(1)より

l_{P} : y = - \frac{x}{2 s} + s^{2} + \frac{1}{2}

である。これと(2)の式を連立すると

- \frac{x _{0}}{2 s} + s^{2} = 2 s x_{0} + \frac{1}{16 s ^{2}}

であるから

x_{0} = \frac{4 s ^{2} - 1}{8 s}

である。これを $l_{Q}$ に代入して

y_{0} = s^{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16 s ^{2}}

を得る。

(4)

$s < 0$ であるから $s^{2} > 0$ である。相加相乗平均より

s^{2} + \frac{1}{16 s ^{2}} ≧ 2 s^{2} \cdot \frac{1}{16 s ^{2}} = \frac{1}{2}

であり，等号は $s^{2} = 1/4$ のときに成り立つ。 $s < 0$ より，求める値は

s = - \frac{1}{2}

である。

岡山大学 2023年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2023年度
文系数学第1問