岡山大学 2017年度理系数学第2問解答・解説

問題

座標平面内の $2$ つの曲線

$C_{1} : y = lo g (2 x), C_{2} : y = 2 lo g x$

の共通接線を $l$ とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　直線 $l$ の方程式を求めよ．

(2)　 $C_{1}, C_{2}$ および $l$ で囲まれる領域の面積を求めよ．

出典：岡山大学 2017年度前期理系第2問

共通接線について， $C_{1}$ 上の接点を $x = a$ ， $C_{2}$ 上の接点を $x = b$ とおく。傾きと切片を一致させて接線を求める。面積は，接線が対数曲線の上側にあることを使い，交点 $x = 2$ で積分区間を分けて計算する。

$C_{1} : y = lo g (2 x)$ 上の接点の $x$ 座標を $a$ ， $C_{2} : y = 2 lo g x$ 上の接点の $x$ 座標を $b$ とする。 $a > 0, b > 0$ である。

$C_{1}$ の接線は

y = \frac{1}{a} x + lo g (2 a) - 1

であり， $C_{2}$ の接線は

y = \frac{2}{b} x + 2 lo g b - 2

である。これらが同じ直線であるから

\frac{1}{a} = \frac{2}{b}

より $b = 2 a$ である。また切片を比べて

lo g (2 a) - 1 = 2 lo g (2 a) - 2

となるので， $lo g (2 a) = 1$ ，すなわち $2 a = e$ である。したがって $a = \frac{e}{2}$ ， $b = e$ であり，共通接線は

y = \frac{2}{e} x

である。

$C_{1}$ と $C_{2}$ の交点は

lo g (2 x) = 2 lo g x

より， $x > 0$ であることに注意して $2 x = x^{2}$ ，したがって $x = 2$ である。

対数関数のグラフは上に凸であるから，接線 $l$ はそれぞれの曲線の上側にある。よって囲まれる領域の面積 $S$ は

S = \int_{e /2}^{2} (\frac{2 x}{e} - lo g (2 x)) d x + \int_{2}^{e} (\frac{2 x}{e} - 2 lo g x) d x

である。

計算すると

\int (\frac{2 x}{e} - lo g (2 x)) d x = \frac{x ^{2}}{e} - x lo g (2 x) + x

であり，

\int (\frac{2 x}{e} - 2 lo g x) d x = \frac{x ^{2}}{e} - 2 x lo g x + 2 x

である。したがって

S = [\frac{x ^{2}}{e} - x lo g (2 x) + x]_{e /2}^{2} + [\frac{x ^{2}}{e} - 2 x lo g x + 2 x]_{2}^{e} = (\frac{4}{e} - 2 lo g 4 + 2 - \frac{e}{4}) + (e - \frac{4}{e} + 4 lo g 2 - 4) = \frac{3 e}{4} - 2

である。