岡山大学 2017年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a$ を実数とする． $x$ の $2$ 次関数 $f (x) = x^{2} + a x + 1$ の区間 $a - 1 ≦ x ≦ a + 1$ における最小値を $m (a)$ とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　 $m (\frac{1}{2})$ を求めよ．

(2)　 $m (a)$ を $a$ の値で場合分けして求めよ．

(3)　 $a$ が実数全体を動くとき， $m (a)$ の最小値を求めよ．

出典：岡山大学 2017年度前期文系第3問

放物線の軸 $x = - a /2$ が区間 $[a - 1, a + 1]$ に入るかどうかで最小値を分ける。軸が外にある場合は近い端点で最小となる。最後は得られた $m (a)$ の3つの式をそれぞれ最小化する。

$a = \frac{1}{2}$ のとき，区間は $- \frac{1}{2} ≦ x ≦ \frac{3}{2}$ である。放物線 $y = x^{2} + \frac{1}{2} x + 1$ の軸は $x = - \frac{1}{4}$ で，これはこの区間に含まれる。したがって

m (\frac{1}{2}) = (- \frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{4}) + 1 = \frac{15}{16}

である。

$f (x) = x^{2} + a x + 1$ の軸は $x = - \frac{a}{2}$ である。この軸が区間 $a - 1 ≦ x ≦ a + 1$ に含まれる条件は

a - 1 ≦ - \frac{a}{2} ≦ a + 1

であり，これは

- \frac{2}{3} ≦ a ≦ \frac{2}{3}

と同値である。

したがって， $- \frac{2}{3} ≦ a ≦ \frac{2}{3}$ のとき

m (a) = f (- \frac{a}{2}) = 1 - \frac{a ^{2}}{4}

である。

$a < - \frac{2}{3}$ のときは軸が区間の右側にあるので，区間内では右端 $x = a + 1$ で最小となる。よって

m (a) = f (a + 1) = 2 a^{2} + 3 a + 2

である。

$a > \frac{2}{3}$ のときは軸が区間の左側にあるので，区間内では左端 $x = a - 1$ で最小となる。よって

m (a) = f (a - 1) = 2 a^{2} - 3 a + 2

である。

以上より

m (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 a^{2} + 3 a + 2 1 - \frac{a ^{2}}{4} 2 a^{2} - 3 a + 2 (a < - \frac{2}{3}), (- \frac{2}{3} ≦ a ≦ \frac{2}{3}), (a > \frac{2}{3})

である。

$a < - \frac{2}{3}$ では， $2 a^{2} + 3 a + 2$ は $a = - \frac{3}{4}$ で最小値

2 (- \frac{3}{4})^{2} + 3 (- \frac{3}{4}) + 2 = \frac{7}{8}

をとる。

$- \frac{2}{3} ≦ a ≦ \frac{2}{3}$ では， $1 - \frac{a ^{2}}{4}$ の最小値は端点での値 $\frac{8}{9}$ である。

$a > \frac{2}{3}$ では， $2 a^{2} - 3 a + 2$ は $a = \frac{3}{4}$ で最小値 $\frac{7}{8}$ をとる。

よって $a$ が実数全体を動くときの $m (a)$ の最小値は

\frac{7}{8}

である。