岡山大学 2017年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を実数とする．座標平面内の曲線 $C : y = x^{3} - a x$ について，以下の問いに答えよ．

(1)　 $a = 5$ のとき， $C$ の接線で点 $(1, 0)$ を通るものの方程式を求めよ．

(2)　 $C$ の接線で点 $(1, 0)$ を通るものが $3$ 本存在するような $a$ の範囲を求めよ．

出典：岡山大学 2017年度前期文系第1問

方針

接点の $x$ 座標を $t$ とおき，その接線が点 $(1, 0)$ を通る条件を $a$ と $t$ の関係式に直す。(1)は $a = 5$ を代入して接点を求める。(2)は $a = - 2 t^{3} + 3 t^{2}$ のグラフと水平線の交点数を，増減で判定する。

解答

(1)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。 $C : y = x^{3} - a x$ の接線の傾きは $3 t^{2} - a$ であり，接線は

y = (3 t^{2} - a) (x - t) + t^{3} - a t

である。これが点 $(1, 0)$ を通る条件は

0 = (3 t^{2} - a) (1 - t) + t^{3} - a t = - 2 t^{3} + 3 t^{2} - a

である。

$a = 5$ のとき

2 t^{3} - 3 t^{2} + 5 = 0

ではなく，すなわち

2 t^{3} - 3 t^{2} + 5 = (t + 1) (2 t^{2} - 5 t + 5) = 0

である。 $2 t^{2} - 5 t + 5$ の判別式は $25 - 40 < 0$ であるから，実数解は $t = - 1$ だけである。このとき接点は $(- 1, 4)$ ，傾きは $- 2$ である。したがって求める接線は

y - 4 = - 2 (x + 1)

すなわち

y = - 2 x + 2

である。

(2)

上と同じ計算により，接点の $x$ 座標 $t$ は

a = - 2 t^{3} + 3 t^{2}

を満たす。逆にこの式を満たす $t$ から，点 $(1, 0)$ を通る接線が得られる。また異なる $t$ から同じ接線が生じることはない。実際，接線は

y = (3 t^{2} - a) x - 2 t^{3}

であり， $t_{1}, t_{2}$ の接線が一致すれば $t_{1}^{2} = t_{2}^{2}$ かつ $t_{1}^{3} = t_{2}^{3}$ となるので $t_{1} = t_{2}$ である。

$g (t) = - 2 t^{3} + 3 t^{2}$ とおくと，

g^{'} (t) = - 6 t^{2} + 6 t = 6 t (1 - t)

である。したがって $g (t)$ は $t < 0$ で減少， $0 < t < 1$ で増加， $t > 1$ で減少し， $g (0) = 0$ ， $g (1) = 1$ である。また $t \to - \infty$ で $g (t) \to \infty$ ， $t \to \infty$ で $g (t) \to - \infty$ である。

よって水平線 $y = a$ と $y = g (t)$ が3点で交わるのは

0 < a < 1

のときである。したがって求める範囲は $0 < a < 1$ である。

岡山大学 2017年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

岡山大学 2017年度
文系数学第1問